Warum brauchen wir die Condon-Shortley-Phase in sphärischen Harmonischen?

Sie brauchen es nicht: Es ist eine Zeichenkonvention und das einzige, was Sie damit tun müssen, ist, konsistent zu sein. (Dies bedeutet insbesondere, immer zu prüfen, ob die Vorzeichen- und Normierungskonventionen für$Y_{lm}$Und$P_l^m$stimmen Sie allen Quellen zu, die Sie verwenden, und geben Sie dort alle Unterschiede korrekt an.)

Die Condon-Shortley-Vorzeichenkonvention ist so aufgebaut, dass die sphärischen Harmonischen gut mit den Drehimpulsleiteroperatoren zusammenspielen: Sie ermöglichen Ihnen insbesondere das Schreiben

$$\begin{align} Y_l^m(\theta,\varphi) & = A_{lm} \hat{L}_-^{l-m} Y_l^l(\theta,\varphi), \quad \text{and} \\ Y_l^m(\theta,\varphi) & = A_{l,-m} \hat{L}_+^{l+m} Y_l^{-l}(\theta, \varphi), \end{align}$$ bei dem die $A_{lm}=\sqrt{\frac{(l+m)!}{(2l)!(l+m)!}}$sind alles positive Konstanten. Dies stammt aus Aarfken, 6. Auflage (2005), Gl. (12.162) p. 794, und es verwendet die Konventionen $$\begin{align} Y_l^m(\theta,\varphi) & = (-1)^m \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos(\theta)) e^{im\varphi}, \text{ for} \\ P_n^m(\cos(\theta)) & = \frac{1}{2^n n!}(1-x^2)^{m/2} \frac{\mathrm d^{m+n}}{\mathrm d x^{m+n}}(x^2-1)^n ,\text{ and with}\\ L_\pm & = L_x\pm i L_y = \pm e^{i\varphi}\left[\frac{\partial}{\partial \theta} \pm i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial \varphi} \right] . \end{align}$$ Das Ignorieren der Condon-Shortley-Phase würde Zeichen in die einführen $A_{lm}$, was als (vage) unerwünscht angesehen werden kann - Sie wollen die umständlichen Konstanten auf der fummeligen Spezialfunktionsseite, die anfangs immer umständlich ist, und nicht auf der Hilbert-Raumseite, wo saubere Beziehungen zwischen Wellenfunktionen und Vektoren viel mehr sind wertvoll.