Symbole von Derivaten

Typischerweise:

• $\rm d$bezeichnet die Gesamtableitung (manchmal auch als exaktes Differential bezeichnet ): $$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}f(x,t)=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$$ Dies wird manchmal auch als via bezeichnet $$\frac{Df}{Dt},\,D_tf$$
• $\partial$stellt die partielle Ableitung dar (Ableitung von$f(x,y)$in Gedenken an$x$bei konstant$y$). Dies wird manchmal mit bezeichnet $$f_{,x},\,f_x,\,\partial_xf$$
• $\delta$ist für kleine Änderungen einer Variablen , zum Beispiel das Minimieren der Aktion $$\delta S=0$$ Für größere Unterschiede verwendet man$\Delta$, z.B: $$\Delta y=y_2-y_1$$

NB: Diese Definitionen sind nicht notwendigerweise in allen Teilbereichen der Physik einheitlich, achten Sie also darauf, die Absicht des Autors zu beachten . Einige Gegenbeispiele (von vielen mehr):

• $D$kann die Richtungsableitung einer multivariaten Funktion bezeichnen$f$in der Richtung von$\mathbf{v}$: $$D_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \nabla_\mathbf{v}f(\mathbf{x}) = \mathbf{v} \cdot \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial\mathbf{x}}$$
• Allgemeiner$D_tT$kann verwendet werden, um die kovariante Ableitung eines Tensorfelds zu bezeichnen$T$entlang einer Kurve$\gamma(t)$: $$D_tT=\nabla_{\dot\gamma(t)}T$$
• $\delta$kann auch die funktionale Ableitung darstellen : $$\delta F(\rho,\phi)=\int\frac{\delta F}{\delta\rho}(x)\delta\rho(x)\,dx$$
• Das Symbol$\mathrm{d}$kann die äußere Ableitung bezeichnen , die auf Differentialformen wirkt; auf einen$p$-bilden, $$\mathrm{d} \omega_p = \frac{1}{p!} \partial_{[a} \omega_{a_1 \dots a_p]} \mathrm{d}x^a \wedge \mathrm{d}x^{a_1} \wedge \dots \wedge \mathrm{d}x^{a_p}$$ was es auf a abbildet$(p+1)$-Form, obwohl kombinatorische Faktoren je nach Konvention variieren können.
• Das$\delta$Das Symbol kann auch das ungenaue Differential bezeichnen , das in Ihrer thermodynamischen Beziehung zu finden ist $${\rm d}U=\delta Q-\delta W$$ Diese Beziehung zeigt, dass die Änderung der Energie$\Delta U$ist wegunabhängig (nur abhängig von Endpunkten der Integration), während die Änderungen in Wärme und Arbeit$\Delta Q=\int\delta Q$und$\Delta W=\int\delta W$sind pfadabhängig, weil sie keine Zustandsfunktionen sind .

Zunächst möchte ich sagen, dass verschiedene Leute unterschiedliche Notationen verwenden, und ich freue mich über Kommentare. Ich fühle mich auch, als würde ich gleich ein Minenfeld betreten.

Hier wird die Antwort anhand von Beispielen für die Verwendung von gemacht$d$,$\partial$und$\delta$.

Ich würde sagen für$d$das

$dV \over dx$

wäre die Gesamtableitung in einer Dimension für$V(x)$wo das Potenzial$V$ist eine Funktion von nur einer Variablen,$x$.

Wenn$V$ist eine Funktion von zwei oder mehr Variablen, sagen wir$x$und$y$, dann haben wir$V(x,y)$und wenn es in Bezug auf differenziert wird$x$und$y$wir bekommen

$\partial V \over \partial x$und$\partial V \over \partial y$

wenn wir wieder differenzieren, können wir bekommen

$\partial^2 V \over \partial x^2$,$\partial^2 V \over \partial x\partial y$und$\partial^2 V \over \partial y^2$und so weiter.

Schließlich z$\delta$, Ich würde sagen, dass$\delta$stellt etwas Kleines dar, aber nicht unendlich klein. Also zum Beispiel wenn$y=x^2$und wir erhöhen$x$um einen kleinen Betrag zu$x + \delta x$der Wert von$y$wird$y + \delta y$und wir können schreiben

$$y + \delta y = (x + \delta x)^2 = x^2 + 2x\delta x + \delta x^2$$

jetzt weil$y = x^2$wir können dies vereinfachen, um dies zu geben

$$\delta y = 2x\delta x + \delta x^2$$

und teilen Sie dann beide Seiten durch$\delta x$bekommen

$${\delta y \over \delta x} = 2x + \delta x \approx 2x$$

Wenn wir das jetzt machen$\delta x$verschwindend klein (oder infinitesimal klein) schreiben wir es als$dx$und unsere obige Gleichung wird

$${d y \over d x} = 2x + d x = 2x$$

oder

$${d y \over d x} = 2x$$

Weil$dx$ist so klein, dass es effektiv Null ist.

Zum Schluss noch einige andere Verwendungen. In der Themodynamik haben wir manchmal$dU$oder$TdS$wo$d$soll „ein verschwindend kleines bisschen“ sein. Die Unterscheidung zwischen$\delta$und$d$Sie beschreiben in der Frage keine, mit der ich vertraut war - es ist jedoch sinnvoll, da der Autor zwischen pfadabhängigen und pfadunabhängigen Größen unterscheiden möchte - in diesem Beispiel eindeutig beide$d$und$\delta$sind unendlich klein. In der Experimentalphysik$\delta$kann verwendet werden, um experimentelle Fehler (oder Unsicherheiten) in einem Wert darzustellen, z $\lambda \pm \delta \lambda$- das passt dazu$\delta$klein sein, aber nicht verschwindend klein.