Unendliche Änderungen - Notationen

Hitze$Q$und Arbeit$W$sind Pfadfunktionen, was bedeutet, dass ihre Werte viele Werte zwischen Gleichgewichten zwischen Zuständen annehmen können. Nur die Summe der beiden ist exakt und entspricht der Änderung der inneren Energie nach dem ersten Hauptsatz. Sie sind daher keine Eigenschaften eines Systems, die sich „verändern“. Das macht$Q$Und$W$ungenaue Differentiale angegeben durch$\delta$bedeutet eine "Menge" an geleisteter Arbeit oder übertragener Wärmemenge.

Der$d$für Entropie$S$und Lautstärke$V$bedeutet eine differentielle „Änderung“ des Wertes der Immobilie. Sie sind exakte Differentiale, da im Gegensatz zu Wärme und Arbeit nur ein Wert zwischen Gleichgewichtszuständen möglich ist.

Hoffe das hilft.

Ich werde versuchen zu antworten, ohne über ungenaue Unterschiede zu sprechen , und nur ganz am Ende einen abschließenden Kommentar dazu hinterlassen. Obwohl weit verbreitet, ist die Verwendung dieser Terminologie in der Thermodynamik nicht mit dem mathematischen Status der zugrunde liegenden Größen vereinbar.

Beginnen wir mit dem „lateinischen$\mathrm d$." In der Mathematik ist es ein Symbol, das normalerweise für Differentiale oder mit Differentialen verwandte Größen verwendet wird. Ich vermeide es, auf Details einzugehen, da auch die mathematische Verwendung von "$\mathrm d$“ ist manchmal ziemlich zweideutig.

Innerhalb der Thermodynamik gibt es normalerweise das Differential einer Funktion an, in der Praxis die beste lineare Annäherung an die Differenz zwischen dem Wert einer Funktion zwischen zwei Punkten. Zum Beispiel im Fall einer Funktion von zwei Variablen$F$,

$$\Delta F= F(X'_1,X'_2)-F(X_1,X_2)= {\mathrm d}F + \mathcal{o}(\{X'_i-X_i\}),$$ Wo $${\mathrm d}F=\frac{\partial{F}}{\partial{X_1}}{\mathrm d}X_1 +\frac{\partial{F}}{\partial{X_2}}{\mathrm d}X_2$$ Und $${\mathrm d}X_i=X'_i-X_i.$$ Das Adjektiv infinitesimal angewendet auf die$\mathrm d$'s hat die spezifische (und mathematisch fundierte) Bedeutung von klein genug, dass die$\mathcal{o}(\{X'_i-X_i\})$Begriffe können getrost vernachlässigt werden .

In der Thermodynamik kann man eine Funktion des Zustands erhalten, indem man zwei Größen summiert, die einzeln keine Funktion des Zustands sind.

Ein bekanntes Beispiel ist die innere Energie$U$. Der physikalische Inhalt des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik besteht darin, dass die Summe der gesamten Wärme und Arbeit, die von einem System mit der Umgebung ausgetauscht werden, eine Funktion des Zustands ist, auch wenn die Wärme und die Arbeit individuell vom Prozess und nicht nur von Anfangs- und Wärme abhängen Endzustände.

Sein$U$eine Zustandsfunktion, können wir ihr Differential auswerten und verwenden${\mathrm d}U$um die Änderung der inneren Energie zwischen zwei benachbarten Zuständen auszudrücken. Wenn der Prozess, der eine so unendlich kleine Differenz der inneren Energie verursacht, einer kleinen ausgetauschten Arbeit und Wärme entspricht, wäre es schön, wenn die Notation solche Informationen vermitteln würde. Verwenden Sie jedoch so etwas wie${\mathrm d}w$Und${\mathrm d}q$wäre verwirrend, wenn${\mathrm d}$müssen Unterschiede darstellen . Daher wurden in der Literatur zur Thermodynamik verschiedene Methoden eingeführt, um die Information einzubetten, dass die Symbole kleine Mengen bedeuten. Am häufigsten schreibt man solche kleinen Mengen wohl mit a$\delta$oder ein${\mathrm d}$mit Querstange.

Eine solche Situation erfordert ein paar Kommentare.

1. Aus konzeptioneller Sicht sind die d- oder delta-Wahlen nicht notwendig und sogar irreführend. Einige der Gründerväter nutzten sie nicht. Zum Beispiel schreibt Planck in seiner Abhandlung über Thermodynamik das erste Prinzip als $$\mathrm d U = q + w. \tag{1}$$ Ich finde diese Notation die mathematisch kohärenteste. Ich denke nicht, dass es Geschmackssache ist. Obwohl kleine ausgetauschte Arbeit und Wärme zu einer kleinen Änderung der inneren Energie führen sollten, gilt das Gegenteil nicht unbedingt. Diese Tatsache würde bei konsequenter Verwendung durch die D-Balken/Delta-Notation verschleiert.
2. Die wichtigste Tatsache über Mengen wie$w$Und$q$(oder was auch immer wir für ein Symbol verwenden wollen) ist ihre funktionale Abhängigkeit. Mit Ausnahme des Spezialfalls quasistatischer und reversibler Umwandlungen sind die ausgetauschte Wärme und Arbeit nicht nur Funktionen der thermodynamischen Variablen . Diese Beobachtung impliziert, dass eine Gleichung$(1)$wir können überhaupt keine Differentialform auf die rechte Seite schreiben. Wir befinden uns also in einem Fall, der sich grundlegend von dem Fall einer nicht integrierbaren Differentialform wie unterscheidet $${\mathrm d}P=P_1(X_1,X_2){\mathrm d}X_1 +P_2(X_1,X_2){\mathrm d}X_2 \tag{2}$$ wo keine Funktion von zwei Variablen existiert, so dass ihr Differential ist${\mathrm d}P$.

Dieser letzte Punkt erklärt, warum ich auch denke, dass der Name ungenaue Differentiale irreführend ist, ebenso wie er die Verwendung von irreführend ist$\delta$Symbole: In vielen Fällen sind die sogenannten ungenauen Differentiale überhaupt keine Differentiale!