Endgleichgewichtstemperatur zweier Reservoirs, die über eine Wärmekraftmaschine miteinander verbunden sind (thermischer Wirkungsgrad von 50 %)

Ich denke an ein thermisch isoliertes System mit konstantem Druck. Wobei 10 kg Luft bei 1000 K (angenommen$Cp_{air}=0.98$kJ/kgK, bezeichnen Sie dies als das heiße Reservoir mit H) ist mit 10 kg Wasser bei 300 K verbunden (angenommen$Cp_{water}=$4,2 KJ/kgK und bezeichnen dies als Kältereservoir mit C). Die Wärmekraftmaschine hat einen maximalen thermischen Wirkungsgrad von 50 %.

Ich weiß, dass ich das Gleichgewicht in Bezug auf die Entropieänderung betrachten sollte. dh wann

$\Delta S_{system} = 0$

Ich verstehe, wie man dieses Problem löst, wenn die Wärmekraftmaschine reversibel ist. Seit damals$\frac{\delta Q_H}{T_H} = \frac{\delta Q_H}{T_H}$führt zu

$\Delta S_{system} = (mC_P)_{air}\ln(\frac{T_f}{T_H}) + (mC_P)_{water}\ln(\frac{T_f}{T_C}) = 0$

$\Rightarrow T_f =$Gleichgewichtstemperatur des Systems = 376,7 K.

Allerdings kann ich nicht erkennen, wie ich die Tatsache berücksichtigen soll, dass der thermische Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine nur 50 % beträgt. Folgendes habe ich bisher gemacht:

$\eta_{th} = \frac{\delta W_E}{\delta{Q_H}} = 0.5$

$\Rightarrow \delta W_E = 0.5\delta{Q_H}$

Seit dem 1. Gesetz$\Rightarrow dU=\delta{Q}-\delta{W}$und für eine Wärmekraftmaschine, die einen Zyklus abschließt,$dU=0$und daher$\delta{Q_C}=-0.5\delta{Q_H}$. Aber ich weiß, dass dies nur für den Maximalfall gilt, und ich weiß, dass sich der thermische Wirkungsgrad verringert, wenn sich die beiden Temperaturen angleichen.

Jede Hilfe wird sehr geschätzt, vielen Dank im Voraus!

EDIT: Das genaue Problem ist P2.10 unten: