Prinzip der maximalen Arbeit

Bei einem Problem, an dem ich gearbeitet habe, hatte ich einige Schwierigkeiten, einige Teile zu verstehen. Das Problem ist wie folgt:

Ein Körper endlicher Masse hat ursprünglich Temperatur$T_2$, höher als die eines Wärmereservoirs bei einer Temperatur$T_1$. Ein Motor arbeitet in unendlich kleinen Zyklen zwischen dem Körper und dem Vorratsbehälter, bis er die Temperatur des Körpers ab senkt$T_2 to T_1$. Beweisen Sie, dass die maximal vom Motor erreichbare Arbeit ist$W_{max}=Q - T_1(S_2 - S_1)$, Wo$S_1-S_2$die Entropieänderung im Körper und Q die dem Körper durch den Motor entzogene Wärme ist.

So fange ich an:

(1) Erstens weiß ich, dass der Motor einen Zyklus durchführt, also ist die Änderung der inneren Energie, die dem Motor zugeordnet ist, 0, dh$dU=0$, und ich weiß auch, dass die Änderung der Entropie, wie sie auf einen reversiblen Motor (einen Carnot-Motor) angewendet wird, ist$dS=\frac{dQ}{T} \implies dQ=TdS$

(2) Nun wissen wir für jede Wärmekraftmaschine, dass die von der Maschine verrichtete Arbeit W ist$W=Q_2-Q_1$Wo$Q_2,Q_1$stellen die Wärme dar, die dem Reservoir höherer Temperatur entnommen wird, bzw. die Wärme, die an das Reservoir niedrigerer Temperatur abgegeben wird.

(3) Auch, wenn die Körpertemperatur von gesenkt wird$T_2 to T_1$der Motor wird auf Hochtouren laufen und die Arbeitsleistung wird 0 sein, weil wir sonst gegen die Kelvin-Planck-Aussage des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik verstoßen würden. In diesem Zustand$W=Q'_1-Q_1=0 \implies Q'_1=Q_1$Hier$Q'_1$ist die Wärme, die wir dem Körper entziehen , wenn er die Temperatur erreicht hat$T_1$

(4) Nun, da die Körpertemperatur zu sinkt$T_1$, gibt es eine Entropieänderung im Körper der Menge$S_1-S_2$. Jetzt bei$T_1$die dem Körper entzogene Wärme wäre

$$Q'_1=-T_1(S_1-S_2) \implies Q'_1=T_1(S_2-S_1)$$ . aus (3) verstehe ich das$Q_1=Q'_1=T_1(S_2-S_1)$

(5) Wenn ich den Ausdruck in (4) mit dem in (2) verwende, bekomme ich$W=Q_2 - T_1(S_2 - S_1)$und das ist im Grunde$W=Q - T_1(S_2 - S_1)$Weil$Q_2=Q$ist die dem Motor entzogene Wärme.

Der Ausdruck für die geleistete Arbeit in (5) stellt die maximal extrahierbare Arbeit dar, da der Motor in infinitesimalen Zyklen zwischen den beiden Temperaturen betrieben wurde. Dies impliziert, dass der Motor reversibel ist, und aus dem Theorem von Carnots wissen wir, dass der Wirkungsgrad von reversierbaren Motoren maximal ist.

Ist dieser Ansatz in Ordnung? Irgendwelche Orte, die ich ändern/modifizieren muss? Die Art und Weise, wie ich es gemacht habe, gibt (zumindest für mich) ein besseres Gefühl für die zugrunde liegende Physik als die unten angegebene:

https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_maximum_work ;Ich habe das online gefunden, aber ich habe es zu diesem Zeitpunkt nicht ganz verstanden. Ist meine Lösung dann falsch?