Besseres Verständnis der Clausius-Ungleichung

Mein konzeptionelles Verständnis stützt sich auf den Abschnitt über die Clausius-Ungleichung aus Finns Thermal Physics. Anbei die für die Herleitung im Lehrbuch verwendete Grafik.

Wenn ich das richtig verstehen soll, wird die Clausius-Ungleichung normalerweise mit einem Motor demonstriert, der so konstruiert ist, dass der Zustand des Arbeitsstoffs am Ende des Zyklus unverändert ist. Der Motor wird von einer Reihe von Carnot-Motoren angetrieben, die aus einem Hauptreservoir schöpfen$T_0$. Der Motor gewinnt an Wärme$\delta Q_1$aus$C_1$, der erste Carnot-Motor, bringt es aus dem Stand$1$Zu$2$. Diese Wärme wurde abgewiesen$C_1$nach getaner Arbeit$\delta W_1$. Es arbeitete mit Wärme, die ihm aus dem anderen Hilfsreservoir zugeführt wurde$T_0$, liefern$\delta Q_1 \frac{T_0}{T_1}$. Es hat die Wärme des Hauptreservoirs weitergegeben, was meiner Meinung nach daran liegt, dass sie beide an sind$T_0$. Ich weiß nicht, warum der Haupt- und der Hilfsbehälter Wärme ausgetauscht haben, wenn sie die gleiche Temperatur haben, aber es könnte sein, dass der Hilfsbehälter Wärme abgegeben hat$C_1$, das Hauptreservoir tauschte dann Wärme mit ihm aus, da die Temperatur des Hilfsreservoirs dadurch gesunken wäre und dann der Wärmeaustausch eingeleitet worden wäre. Dieser Vorgang wird im exakt gleichen Aufbau beliebig oft wiederholt, sodass das System von Zuständen abweicht$1$Zu$2$Zu$3$usw.

Der zusammengesetzte Motor kann dann unter Berücksichtigung der Nettowärme- und -arbeitsaustausche des Systems konstruiert werden.

Aus irgendeinem Grund gibt der Motor die ihm vom Hilfsbehälter zugeführte Wärme nicht ab$T_i$, vielleicht weil es keine Arbeit macht. Die Netzprozesse des Verbundmotors nehmen jedoch Wärme auf

$$Q = \sum_i \frac{T_0}{T_i} \delta Q_i$$

und arbeiten

$$W = \sum_i W_i$$

Und da der Verbundmotor Wärme in Arbeit umwandelt, ohne etwas abzulehnen, ist dies ein Verstoß gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, as$\Delta U = 0 = Q - W \implies Q = W$und der Prozess ist ein Zyklus. Es gibt jedoch anscheinend eine Möglichkeit, dieses für mich verwirrende Problem zu vermeiden. Hier ist Arbeit positiv und Wärme positiv, da die Arbeit an der Umgebung verrichtet wird und Wärme dem Arbeitsstoff zugeführt wird. Dieser Prozess kann jedoch nur für beide stattfinden und physikalisch möglich sein$W$Und$Q$negativ, am System wird Arbeit verrichtet und Wärme fließt ab. Oder beides$W$Und$Q$kann Null sein.

$$W = Q \ \text{where both are less than or equal to 0}$$

Dies impliziert direkt, dass:

$$\sum_i \delta Q_i \frac{T_0}{T_i} = T_0 \sum_i \frac{\delta Q_i}{T_i} \le 0$$

Seit$T_0$streng positiv ist, bedeutet dies, dass der Rest streng negativ sein muss.

$$\implies \sum_i \frac{\delta Q_i}{T_i} \le 0$$

Als$i \to \infty$, dann haben wir ein Integral

$$\oint \frac{dQ}{T} \le 0$$

Hier$dQ$wird als ungenaues Differential bezeichnet. Was uns zu Clausius' Ungleichung führt.

Ich werde jetzt alle Verwirrungen auflisten, die ich mit der Ableitung habe.

1) Warum$T_1$geben$\delta Q_1$von Wärme auf die Arbeitssubstanz und nicht auf eine willkürliche Menge? Warum hat es es weitergegeben von$C_1$?

2) Warum gab das Hauptreservoir Wärme ab?$\delta Q_1 \frac{T_0}{T_1}$wenn sowohl das Hauptreservoir als auch das Hilfsreservoir auf Temperatur sind$T_0$? I obwohl Wärme ausgetauscht wird, tritt während einer Temperaturdifferenz auf.

3) Warum arbeitet der Motor nicht im Kreis und gibt Wärme ab?

4) Physikalisch ist dies nur möglich, wenn beides der Fall ist$Q$Und$W$sind negativ ... aber in der zusammengesetzten Engine, die wir konstruiert haben ... ist es das nicht? Wie können wir also einfach unsere Meinung ändern und so tun, als wäre dies immer noch derselbe Motor?

5) Wir haben bewiesen, dass dies bei einigen Motoren der Fall ist, die wir uns in unseren Köpfen ausgedacht haben. Woher wissen wir, dass dies für alle Motoren gilt?

6) Das Lehrbuch vermerkt die$T$innerhalb des Integrals erscheint die Temperatur der Hilfsreservoirs, die dem Arbeitsstoff Wärme zuführen. Es ist also die Temperatur der externen Wärmequelle$T_0$. Warum sollte es nicht sein$T_i$? Das ist die Temperatur des Reservoirs, das dem Arbeitsstoff Wärme gibt.

7) Das Lehrbuch stellt dann fest, dass, wenn der Zyklus umkehrbar ist, der Zyklus in die entgegengesetzte Richtung genommen werden könnte und der Beweis ergäbe

$$\oint \frac{dQ}{T_0} \ge 0$$

Wo noch einmal$dQ$soll ein ungenaues Differential sein. Aber das impliziert$W = Q \ge 0$, was gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (nämlich das Gesetz von Kelvin) verstoßen sollte. Warum ist das gültig?

8) Da ein umkehrbarer Zyklus offensichtlich zwei mögliche Ungleichungen haben wird, ist die einzige Möglichkeit, beide zu erfüllen, für

$$\oint \frac{dQ_R}{T} = 0 \ \text{(reversible)}$$

Das Lehrbuch stellt jedoch fest, dass "die$0$Index an$T$entfallen, weil es jetzt keinen Unterschied zwischen der Temperatur der externen Wärmequelle und der Temperatur des Arbeitsstoffes gibt". Ich verstehe nicht, warum das jetzt so ist.

Ich weiß, dass dies viele Fragen sind, aber jede Antwort und so viele wie möglich würden viel für mein Verständnis bedeuten, da ich denke, dass dies in dieser Disziplin eine Schlüsselsache ist, die es zu verstehen gilt.