Clausius-Ungleichung führt zu absurdem Ergebnis

Question

Clausius-Ungleichung führt zu absurdem Ergebnis

Entropie
Physik
Wärmekraftmaschine
Umkehrbarkeit
Thermodynamik

Osmium

Hintergrund: Nach der Ableitung der Clausius-Ungleichung leitet der Autor dieses Buches die folgende Beziehung her:

Betrachten Sie den in der Abbildung gezeigten Zyklus in welchem Bein $A \rightarrow B$ ist irreversibel. In der Gleichung

0 > \oint \frac{D Q}{T} = \int_{A irrev}^{B} \frac{D Q}{T} + \int_{B Umdrehung}^{A} \frac{D Q}{T}

$0>\oint\frac{\mathrm{d}Q}{T}=\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d}Q}{T}+ \int_{B \operatorname{rev}}^{A} \frac{\mathrm{d}Q}{T}$ der zweite Term auf der rechten Seite dieser Gleichung ist gegeben durch

S (A) - S (B)

$S(A)-S(B)$ weil es auf einem umkehrbaren Weg genommen wird. Wenn wir diese Größe auf die linke Seite verschieben, finden wir das

S (B) - S (A) > \int_{A irrev}^{B} \frac{D Q}{T} .

$S(B)-S(A)>\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}.$ Somit ist die Entropiedifferenz zwischen den Punkten größer als das Integral von $\mathrm{d} Q / T$ über eine irreversible Änderung.

Problem: Entropie ist also eine Zustandsfunktion $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}= {\Delta} S.$ Durch die abgeleitete Ungleichung haben wir ${\Delta} S>{\Delta} S$ was absurd ist.

Antworten (3)

Clausius-Ungleichung führt zu absurdem Ergebnis

Ghorbalchov · Answer 1

Betrachtet man das Ergebnis

\int_{A irrev}^{B} \frac{D Q}{T} < S (B) - S (A)

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<S(B)-S(A)$ für einen infinitesimalen Pfad erhalten wir

D S \geq \frac{D Q}{T}

$\mathrm{d}S\ge\frac{\mathrm{d}Q}{T}$ wobei die Gleichheit nur für einen reversiblen Prozess gilt (nach der Definition der Entropie).

Dies bedeutet das in Ihrem Ausdruck

\int_{A irrev}^{B} \frac{D Q}{T},

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T},$

\frac{d Q}{T}

$\frac{\mathrm{d} Q}{T}$ ist ungleich zu

d S

$\mathrm{d}S$ denn der Vorgang ist irreversibel. Stattdessen haben Sie

\frac{d Q}{T} < d S

$\frac{\mathrm{d} Q}{T}<\mathrm{d}S$ und so

\int_{A irrev}^{B} \frac{D Q}{T} < \int_{A irrev}^{B} D S = S (B) - S (A)

$\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}<\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \mathrm{d}S=S(B)-S(A)$ was das ursprüngliche Ergebnis ist.

So $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}\not= {\Delta} S$ für irreversible Prozesse?
Aber auf der nächsten Seite schreibt der Autor, dass „wir reversible Pfade verwendet haben, um die Änderung der Entropie zu berechnen. Gibt es hier also keinen Widerspruch?
Es gibt keinen Widerspruch. Die Tatsache, dass Entropie eine Zustandsfunktion ist, bedeutet dies $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \mathrm{d}S=\int_{A \operatorname{rev}}^{B} \mathrm{d}S=S(B)-S(A)$ die ich in meiner Antwort verwendet habe. Der Punkt ist, dass $\frac{\mathrm{d} Q}{T}\neq\mathrm{d}S$ für einen irreversiblen Prozess so $\int_{A \operatorname{irrev}}^{B} \frac{\mathrm{d} Q}{T}\neq {\Delta} S$ .

Chet Miller · Answer 2

Für den irreversiblen Weg zwischen denselben beiden Endzuständen ist dQ anders als dQ für den reversiblen Weg, und im Integral von dQ/T für den irreversiblen Weg soll die Temperatur an der Grenzfläche zwischen dem System und der Umgebung verwendet werden $T_B$ . Für den irreversiblen Pfad sollten Sie also verwenden

\int \frac{D Q_{ich R R e v}}{T_{B}}

$\int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$ Die beiden Integrale sind also nicht gleich. Die korrekte Form der Ungleichung sollte lauten:

Δ S \geq \int \frac{D Q_{ich R R e v}}{T_{B}}

$\Delta S\geq \int{\frac{dQ_{irrev}}{T_B}}$

Chet, ich mag diese Notation, weil sie deutlich zeigt, dass wir für den irreversiblen Weg das Verhältnis von absorbierter/abgegebener Wärme zur isothermen Temperatur nicht mit dem Entropiezuwachs gleichsetzen können. Hübsch.

Michael b · Answer 3

Ich finde das Folgende aus Enrico Fermis Buch als die expliziteste Ableitung, die zeigt:

D S \geq \frac{D Q}{T}

$dS \geq \frac{dQ}{T}$

Betrachtet man ein geschlossenes Integral des Verhältnisses von absorbierter (oder abgegebener, je nach Vorzeichen) Wärmebadtemperatur entlang jeder Isotherme in einem Zyklus (reversibel oder nicht),

\oint \frac{D Q}{T} = \int_{A}^{B} \frac{D Q}{T} + \int_{B}^{A} \frac{D Q}{T} \leq 0

$\oint \frac{dQ}{T}=\int_{A}^{B} \frac{dQ}{T}+\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T} \leq0$

Wir können den vorderen Teil des Zyklus nehmen $(A\rightarrow B)$ als irreversible Transformation und der Rückkehrteil des Zyklus $(B\rightarrow A)$ als reversible Umwandlung. Dies ist zulässig, da sich sogar irreversible Zyklen entlang des Vorwärtsteils des Zyklus gleich verhalten . Wir sagen nur, dass sich unser Zyklus als Grenzfall auf dem Rückweg reversibel verhält:

(T D S = D Q)_{B \to A}

$(TdS=dQ)_{B \rightarrow A}$ Deshalb,

\int_{B}^{A} D S = \int_{B}^{A} \frac{D Q}{T} = S (A) - S (B)

$\int_{B}^{A}dS=\int_{B}^{A}\frac{dQ}{T}=S(A)-S(B)$

\int_{A}^{B} \frac{D Q}{T} + S (A) - S (B) = \int_{A}^{B} \frac{D Q}{T} - [S (B) - S (A)] \leq 0

$\int_{A}^{B}\frac{dQ}{T} + S(A)-S(B) = \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}-[S(B)-S(A)] \leq 0$

Umgekehrt,

S (B) - S (A) \geq \int_{A}^{B} \frac{D Q}{T}

$S(B)-S(A) \geq \int_{A}^{B}\frac{dQ}{T}$

D S \geq \frac{D Q}{T}

$dS \geq \frac{dQ}{T}$

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Besseres Verständnis der Clausius-Ungleichung

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