Partielle Ableitungen vs. totale Ableitungen in der Thermodynamik

Eines vorweg: Sie und die Menschen in Ihrem Studiengang sind sicherlich nicht die einzigen Studierenden, die dieses Problem haben. In meinem 2. und 3. Studienjahr hatte ich es selbst. Der Grund ist, dass Physiker missbräuchliche Notationen verwenden . Und sie tun es sehr oft. Mathematiker haben damit weniger Probleme. In dieser Antwort werde ich versuchen, intuitive Begriffe zu verwenden und gleichzeitig präzise zu sein.

Zuerst ein Kommentar zu Parameterräumen . Es ist wichtig, sich darüber im Klaren zu sein, mit welchem ​​Sie es zu tun haben, um den Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung zu erkennen. Zum Beispiel werden Sie wahrscheinlich mit Systemen arbeiten, die (p,V,T,N) (übliche Notation) haben. Oder nehmen wir der Einfachheit halber eine konstante Teilchenzahl N und haben eine Zustandsgleichung (zB ideales Gas). Dann wird der Zustand Ihres Systems vollständig durch (p,V) bestimmt. Aber durch die Zustandsgleichung sind sie mit T verknüpft, also könnte man es auch in (T,V) oder (p,T) ausdrücken.

Jetzt sind wir bereit für die Derivate. Eine partielle Ableitung ist eine Ableitung entlang einer bestimmten, festgelegten Richtung im Parameterraum . In Ihrem Fall ist diese Richtung beispielsweise die z = konstante Linie. Beachten Sie, dass die Richtung vollständig bestimmt werden muss. Wenn Ihr Parameterraum also n-dimensional ist, müssen Sie n-1 Variablen angeben (dh eine freie Variable, die der Parameter entlang dieser Richtung ist). Der erste Ausdruck für die Wärmekapazität, den Sie oben haben, ist genau das IF z=const. bestimmt eine Richtung (dh es funktioniert im 2-dimensionalen (P,V) Parameterraum, den wir als Beispiel hatten). Eine weitere Sache, die wir mit der totalen Ableitung vergleichen müssen: Die partielle Ableitung entlang einer bestimmten Richtung ist eine Funktion der Position im Parameterraum. Dh in unserem Beispielfall:$C_z = f(p,V)$

Was ist dann die totale Ableitung ? Tatsächlich ist es ein völlig anderes Objekt, da es nicht nur eine Funktion der Position im Parameterraum ist. Stattdessen hängt es auch davon ab, in welche Richtung Sie differenzieren. Daher ist es besser, es sich als Ausdehnung vorzustellen (wieder am Beispiel der Wärmekapazität):

$dQ = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} dp + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} dV$

Um also dC zu finden, müssen Sie angeben, wie viel Sie sich in dp- und dV-Richtung bewegen. Das ist also tatsächlich ein ziemlich kompliziertes Objekt. Wie ist es nützlich? Man kann Beziehungen zwischen verschiedenen totalen Ableitungen finden. ZB Dividieren durch dp oben ergibt:

$\frac{dQ}{dp} = \left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{V=const} + \left( \frac{\partial Q}{\partial V} \right)_{p=const} \frac{dV}{dp}$

Dies bezieht sich auf die Ableitung$\frac{dQ}{dp}$Zu$\frac{dV}{dp}$. Wenn Sie also letzteres kennen (was bedeutet, dass Sie die Richtung kennen), können Sie ersteres berechnen. Man kann dann auch verschiedene partielle Ableitungsbeziehungen ablesen, zB Setzung$\frac{dV}{dp} = \left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_{q=const}$(Beachten Sie, dass dies kein allgemein wahrer Ausdruck ist, sondern eher die Richtung q=const. wählt) ergibt einen Ausdruck für$\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)_{q=const}$

Ich habe jetzt die Prinzipien erklärt. Es wird nützlich sein, alle Ihre Definitionen durchzugehen und zu sehen, welche welche ist. Sie werden wahrscheinlich feststellen, dass die meisten expliziten Definitionen eigentlich partielle Ableitungen sind und die totalen nur verwendet werden, um sich aufeinander zu beziehen. In Ihrem obigen Beispiel macht eine totale Ableitung nicht einmal Sinn.

Ich habe Wikipedia konsultiert und folgende Definition gefunden

$$df=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}dx_{1}+...+\frac{\partial f}{\partial x_{n}}dx_{n}$$ es steht geschrieben nach "Im eindimensionalen Fall wird das" $$df=\frac{ df}{dx}dx$$ und es ist nicht wahr, die Schrift lautet: $$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx$$ durch Weglassen des Index (1).

und ich habe mehrere Mathematikbücher konsultiert(*), das Differential ist definiert durch

$$df=f'dx$$

damit wir schreiben können:

$$\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}=f'$$

wenn Sie das Werkzeug beherrschen.

(*)-Hochschulmathematik Band I, V.Smirnov.

-Differential- und Integralrechnung Band I, N.Piskounov.

-Mathematische Analyse Band I, G.Chilov.

-Mathematische Analyse, A.Kartachev, B.Rojdestvenski