Physikalische Erklärung einer Eigenschaft der Wärmegleichung? [geschlossen]

Wenn ich die Wärmegleichung berechne, habe ich festgestellt, dass sich die Wärme nicht ändert, es ist dieselbe wie in unserer realen Welt. Aber wie ich weiß, wird die Wärmegleichung gemäß der Art der Wärmeleitung gefunden. Warum enthält der Modus der Wärmeausbreitung Wärmeerhaltung?

Unten ist meine Berechnung, nehme ich an Ω ist kompakte Mannigfaltigkeit ohne Grenze, heißt es ∂ Ω = ∅

{ u T = Δ u  In  Ω × ( 0 , T ] u ( X , 0 ) = u 0
Dann ist die Hitze brutto
G H e A T = ∫ Ω u D v
Dann zeig G H e A T Ändere nicht alleine die Zeit
D G H e A T D T = ∫ Ω D u D T D v = ∫ Ω Δ u D v = ∫ ∂ Ω ∂ u ∂ N → D v = 0
So, G H e A T Ändern Sie nicht allein die Zeit. Es bedeutet Wärmeerhaltung. Warum enthält die Art der Wärmeausbreitung Wärmeerhaltung? Ich möchte eine physikalische Erklärung, wie entscheidet das lokale Verhalten über das globale Verhalten?

Ich bin nur ein Meister der Mathematik und mein Englisch ist schlecht, daher weiß ich nicht, ob ich meine Frage richtig beschreibe. Wenn nicht, begrüßen Sie jede Bearbeitung oder jeden Rat.

Ich verstehe deine letzte Identität nicht, sollte es nicht sein ∫ Ω Δ u D v = ∫ ∂ Ω ∇ u . N → D S ?
Ein Blick auf den Wikipedia-Artikel hätte Ihnen gesagt, dass "die Wärmegleichung aus dem Fourier-Gesetz und der Energieerhaltung abgeleitet wird" . Sie fragen sich also, warum eine aus der Energieerhaltung abgeleitete Gleichung Energie spart?
@ACuriousMind, aber Sie können Wärmequellen und -senken haben. Sind diese nicht in den Randbedingungen abgebildet? zum Beispiel, wenn Sie einen Hotspot in der Mitte haben (ich erinnere mich vielleicht falsch daran, und ich konnte es bei einer schnellen Suche nicht herausfinden)
@brucesmitherson: Beachten Sie, dass die Frage voraussetzt Ω ist ein "Kompaktverteiler ohne Begrenzung", also ∂ Ω ist leer, und so gleichen sich alle Quellen und Senken darin aus Ω , da es keinen Nettofluss haben kann.

Antworten (1)

Kurzer Hinweis zur Terminologie: In der Thermodynamik wird Wärme mit Energieübertragungen in Verbindung gebracht ; Die verwandte Eigenschaft, die mit dem Zustand eines Systems verbunden ist, wird Energie genannt. Eine bessere Bezeichnung für das „Brutto der Wärme“ wäre die „Gesamtenergie“ des Systems.

Wie Kommentatoren darauf hingewiesen haben, wird die Wärmegleichung aus dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik abgeleitet. Ein direkterer Beweis dafür, dass die Gesamtenergie erhalten bleibt, besteht darin, den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf das durch die Mannigfaltigkeit definierte System anzuwenden Ω :

D D T U Ω = Q ˙ − P D D T v + W ˙ andere
Wo

  • D D T U Ω ist die Änderungsrate der gesamten inneren Energie des Systems
  • Q ˙ ist die Wärmeübertragungsrate über die Grenze, die Null ist, da es keine Grenze gibt
  • − P D D T v ist die Grenzarbeit, die mit dem Erweitern/Kontrahieren des Systems verbunden ist
  • W ˙ ist die Rate, mit der Arbeit die Grenze aufgrund anderer Effekte (z. B. Strom) überschreitet, die wiederum Null ist, weil es keine Grenze gibt

Wenn die Lautstärke von Ω konstant ist, dann ist die Grenzarbeit Null und somit die gesamte innere Energie des Systems konstant.

Um auf Ihre ursprüngliche Frage zurückzukommen: Wenn Sie den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf ein System anwenden, in dem nur Leitung auftritt, ersetzen Sie das Fourier-Gesetz der Leitung und nehmen Sie dies ebenfalls an u linear verwandt ist T , dann nimmt das Ergebnis die Form der Wärmegleichung an. Aus diesem Grund wird die Wärmegleichung "die Wärmegleichung" genannt. Wie in den Kommentaren erwähnt wurde, spart die Wärmegleichung Energie, weil die Gleichungen, aus denen sie abgeleitet wird, Energie sparen .

Wenn Sie eine eher physikalische Argumentationslinie bevorzugen, stellt die Wärmegleichung nur die Auswirkungen der Wärmeleitung dar. Bei der Leitung fließt Energie von hoher Temperatur zu niedriger Temperatur, aber die Summe bleibt erhalten. Die Wärmeleitung spart Energie, daraus folgt, dass die Wärmegleichung Energie spart.

Vielen Dank. Gibt es ein Thermodynamik-Buch, das für Mathematikstudenten interessant und geeignet ist?
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