Wie hängt in einem Teilchengas der Verschiebungsvektor mit der Anzahldichte zusammen?

Question

Wie hängt in einem Teilchengas der Verschiebungsvektor mit der Anzahldichte zusammen?

Joss L

Angenommen, ich habe ein Gas aus Teilchen, das zunächst gleichmäßig verteilt ist, so dass die Anzahldichte ist $n_0$ (Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit) und dann verschiebe ich die Teilchen um das Vektorfeld $\vec{d}(\vec{x})$ (d. h. das Teilchen ursprünglich an Position $\vec{x}$ wird um den Vektor verschoben $\vec{d}$ ). Wie ist die resultierende Anzahldichte $n(\vec{x})$ bezogen auf den Verschiebungsvektor $\vec{d}(\vec{x})$ ?

Ich bin mir sicher, dass dies irgendwo in einem Standard-Lehrbuch gemacht werden muss, aber ich kann nicht finden, wo.

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Wie hängt in einem Teilchengas der Verschiebungsvektor mit der Anzahldichte zusammen?

Edgar Bonnet · Answer 1

Eine einfache 1D-Berechnung ergibt in erster Ordnung so etwas wie

\frac{1}{N} = \frac{1}{N_{0}} (1 + \vec{\nabla} \cdot \vec{D})

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n_0}\left(1+\vec{\nabla}\cdot\vec{d}\right)$

aber nur wenn $\vec{d}$ ist klein genug. Ansonsten zum Rechnen $n(\vec{x})$ , müssen Sie die Divergenz an einem Punkt auswerten $\vec{x'}$ so dass $\vec{x'}+\vec{d}(\vec{x'}) = \vec{x}$ .

Ich habe das auch in 1-D bekommen, aber ich dachte, es wäre falsch, da wenn $d$ ist sinusförmig, sollte nicht $n$ auch sinusförmig sein?
Nur wenn d klein ist im Vergleich zu Ihrer Wellenlänge, in diesem Fall könnte die obige Gleichung auch geschrieben werden $n = n_0 (1 - \vec{\nabla}\cdot\vec{d})$ .
Ach, ich verstehe. Wenn wir definieren $\delta = \frac{n - n_0}{n_0}$ dann für klein $\delta$ wir bekommen $\delta + \vec{\nabla} \cdot \vec{d} = 0$ . Danke, Edgar!

Markus Eichenlaub · Answer 2

Nehmen Sie einen Punkt A. Finden Sie heraus, wohin er übersetzt wurde, sagen Sie A'. Addiere zur Dichte bei A' die ursprüngliche Dichte bei A dividiert durch die Jacobi-Dichte der Transformation bei A.

Integrieren Sie dies über alle A.

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