Wie genau basiert der Formalismus der Thermodynamik auf der Kontaktgeometrie?

Hier ist das Ergebnis:

1. Einerseits ein strenger Kontaktverteiler $(M,\alpha)$ist ein$(2n+1)$-dimensionale Mannigfaltigkeit$M$mit einer global definierten Eins-Form ausgestattet$\alpha\in \Gamma(T^{\ast}M)$das ist maximal nicht integrierbar

   $$\alpha \wedge (\mathrm{d}\alpha)^n~\neq~ 0.\tag{1}$$

   Es ist von Interesse, Untermannigfaltigkeiten zu finden$N\subseteq M$so dass$TN\subseteq {\rm ker}(\alpha)\subseteq TM$. Solche Untermannigfaltigkeiten maximaler Dimension [was sich als$n$-dimensional] werden als Legendrische Untermannigfaltigkeiten bezeichnet .

2. Andererseits der erste Hauptsatz der Thermodynamik

   $$\mathrm{d}U~=~ \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i \tag{2}$$ [wo$U$ist innere Energie und$(q^i, p_i)$sind thermodynamisch konjugierte Variablen ] ergibt ein Kontaktformular $$\alpha~:=~\mathrm{d}U- \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i.\tag{3}$$ Ein konkretes thermodynamisches System [mit einer Zustandsgleichung] wird als Legendrische Untermannigfaltigkeit realisiert.

Verweise:

1. SG Rajeev, Ein Hamilton-Jacobi-Formalismus für die Thermodynamik, Annals. Phys. 323 (2008) 2265 , arXiv:0711.4319 .

2. JC Baez, Classical Mechanics versus Thermodynamics, Teil 1 & Teil 2 , Azimut-Blogbeiträge, 2012.

in Begriffen, die jemandem mit einem "grundlegenden" mathematischen Hintergrund wie mir (hauptsächlich Kalkül) zugänglich sind: Wie genau basiert der Formalismus der Thermodynamik auf der Kontaktgeometrie?

Nach dem, was ich (wenig) verstehe, insbesondere von Baez und Grmela , ist eine logische Abfolge von der Thermodynamik zur Kontaktgeometrie:

• klassische Thermodynamik
  -> Variationsformulierung (Maximierung der Entropie)
  -> Differentialgeometrie (Einformen)
  -> Kontaktgeometrie.

Das Differentialgeometriebit enthält eine Riemannsche Metrik und kann die Form einer symplektischen Geometrie (für geraddimensionale Mannigfaltigkeiten) oder Kontaktgeometrie (für ungeraddimensionale Mannigfaltigkeiten) annehmen.

Um mehr zu lernen:

• Ausgehend von der Mathematik auf Infinitesimalrechnung schlägt John Denker vor, Differentialformen und ihre Anwendung auf die Thermodynamik einzuführen .

• Salamon et al. bieten in The mathematische Struktur der Thermodynamik eine ziemlich reibungslose Einführung in Kontaktmannigfaltigkeiten in der Thermodynamik.

• Ausgehend von Differentialformen bietet Mrugala eine weitere Einführung in das Thema in Über Kontakt und metrische Strukturen auf thermodynamischen Räumen ( e-print ).

Und es gibt sehr relevante Antworten, Diskussionen und Referenzen in den älteren Fragen:

Einführung in Differentialformen in der Thermodynamik
Symplektische Geometrie in der Thermodynamik
Konjugierte Variablen in der Thermodynamik vs. Hamiltonsche Mechanik

Ich vermute, Sie suchen nach einer eher Low-Fi-Antwort. Vielleicht könnten Sie erklären, warum Sie das für den Kontext interessiert.

Mein Gefühl (nicht meine Physik forte tbh) ist, dass es darum geht, große Mengen interagierender Dinge mit bestimmten Freiheitsgraden zu betrachten. Angenommen, Heliumatome können so behandelt werden, als hätten sie 3 Grad (xyz-Achse), Wasserstoffatome als H2-Moleküle haben eine zusätzliche Möglichkeit zum Drehen und Stoßen (xyz + Drehung um die Mittelachse) und so weiter, z. für Zug & Druck.

Da es bei der Thermodynamik darum geht, eine Sache konstant zu halten, während andere Dinge verändert werden, werden Sie in einem mathematischen Raum, der Wechselwirkungen mit bestimmten Freiheitsgraden verkörpert, Oberflächen erzeugen, auf denen die Forderung nach Konstanten dieser Variablen erfüllt ist, oder Mannigfaltigkeiten.

Der Trick, einen mathematischen Raum zu schaffen, in dem Sie Muster leichter identifizieren können, wird in der Physik häufig verwendet. Wie bei der Schaffung des Lagrange- oder Hamilton-Systems, die die Dinge auf die Kerndynamik reduzieren. Oder verwenden Sie komplexe Variablen (eine Zahl + ein Gegenstück zu einer imaginären Zahl), um verschiedene Arten von Dingen im Auge zu behalten, während Sie die Kombination von ihnen berechnen. Ich erinnere mich, wie ich den Moment genoss, als ich verstand, dass man die Gleichungen zweier Planetenbahnen nehmen und eine neue Gleichung erstellen kann, die wie ein Schnitt durch die Bahnen mit Punkten ist; Dann drehen Sie einfach den Griff, um die Scheibe herumzubewegen und zu sehen, ob sich jemals einer der Punkte überlappt, und wenn dies der Fall ist, werden die Planeten schließlich kollidieren und die Umlaufbahnen sind nicht stabil.

Mathematische Räume sind nützlich. Die Interaktion großer Mengen von Dingen hängt von der Geometrie ab. Daher Kontaktgeometrie mit Mannigfaltigkeiten in "Phase" oder mathematischem Raum.