Funktionale Ableitung und Wirkungsvariation SSS vs. Lagrange-LLL vs. Lagrange-Dichte LL\mathcal{L} vs. Lagrange-4-Form LL\mathbf{L}

Ich habe viele potenzielle Schreibfehler gesehen, die mich daran hindern, Variationsmethoden in QFT und GR klar zu verstehen, die ich ein für alle Mal klären möchte. Dies kann ein bisschen lang sein, aber ich denke, es lohnt sich, alles an einem Ort zu platzieren.

Funktionales Derivat in QFT

Angenommen, ich möchte eine Bewegungsgleichung erhalten. Wenn ich der Standarddefinition folge (z. B. Wikipedia , die, soweit ich mich erinnere, einen Standardausdruck gibt), ist eine Aktion für eine Feldtheorie der Form gegeben

$$S[\Phi] = \int d^4x\,\mathcal{L}[\Phi,\partial_\mu\Phi]$$ Wo$\Phi$ist ein bestimmtes Gebiet, das uns interessiert. Ich werde die Variation der Aktion festlegen$\delta S=0$. Nun ist diese Variation formal definiert als $$\begin{align} \delta S := \int d^4x\, \frac{\delta S}{\delta \Phi}\delta\Phi \end{align}$$ und wir definieren formal die Menge$\delta S/\delta\Phi$das funktionale Derivat von sein$S$gegenüber$\Phi$(Es kann eine rigorose Alternative / Interpretation unter Verwendung des Frechet-Derivats geben, mit der ich nicht vertraut bin, daher schätze ich, wenn jemand dies klären kann).

Nun, der Ausdruck auf RHS von$\delta S$ist bedeutungslos, wenn ich nicht weiß, was ist$\delta \Phi$und das funktionelle Derivat$\delta S/\delta \Phi$. Dies wird durch die Verwendung eines geeigneten Raums von Testfunktionen geregelt, der für asymptotisch flache Raumzeiten der Raum von Funktionen wäre, die an der Grenze verschwinden$\partial M$des Verteilers$M$(z. B. kompakt unterstützte Funktionen auf$M$, bezeichnet$C^\infty_c(M)$). Wenn$h\in C^\infty_c(M)$, wir haben

$$\begin{align} \int d^4x\,\frac{\delta S}{\delta \Phi}h = \lim_{\epsilon\to 0}\frac{S[\Phi+\epsilon h]-S[\Phi]}{\epsilon} = \left.\frac{d}{d\epsilon}\right|_{\epsilon=0}S[\Phi+\epsilon h]\,, \end{align}$$ und was wir normalerweise nennen$\delta \Phi$ist in der Tat$\epsilon h$, was mit dem Namen „variation of$\Phi$". Der obige Ausdruck liefert auch eine Definition, wie man eine funktionale Ableitung einer Funktion nimmt. Die Standard-Euler-Lagrange-Gleichung für die Feldtheorie wird dann erhalten, wenn man das sagt$\delta S=0$für alle Variationen$\delta\Phi$die an der Grenze verschwinden, was dann das impliziert $$\begin{align} 0 = \frac{\delta S}{\delta\Phi} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\Phi}- \partial_{\mu}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$ Während es für einige offensichtlich sein mag, sollte es betont werden$\partial \mathcal{L}/\partial \Phi$ist keine Funktion, sondern eine Funktion von$\Phi,\partial_\mu\Phi$: nur beachten$\Phi=\Phi(x^\mu)$. Es folgen zB QFT-Texte von Blundell , implizit von Peskin und vielen anderen Stellen.

Wenn wir Weinbergs QFT-Route folgen, arbeitet er stattdessen mit Lagrange:

$$\begin{align} L = \int d^3x\,\mathcal{L}(\Phi,\partial_\mu\Phi)\,,\hspace{0.5cm} S= \int d x^0 L\,, \end{align}$$ und zeigen Sie dann, dass die gleiche Euler-Lagrange-Gleichung erhalten wird, wenn$\delta L = 0$. Sie können in Weinbergs Lehrbuch nachsehen, dass die verwendeten Schritte genau die gleichen sind wie die, die ich anhand der Aktionen skizziert habe$S$außer dass er sich entschieden hat, mit zu arbeiten$L$, die übliche Lagrange-Funktion (nicht die Lagrange-Dichte) anstelle der vollen Aktion$S$.

F1: Warum können wir diese zwei verschiedenen Variationen machen?$\delta S=0$Und$\delta L=0$und bekomme die gleiche Antwort? Offensichtlich gibt es eine Verbindung zwischen$\delta S$Und$\delta L$, aber mein Problem rührt von diesem Problem her: Es sieht für mich so aus, als ob die Variation$\delta\Phi$sieht in diesen beiden Fällen anders aus, da man unter Variation ist$d^4x$und der andere ist drin$d^3x$: effektiv die Testfunktion$\delta\Phi\equiv \epsilon h$für$\delta L$Fall brauchen sich nur um das räumliche Integral zu kümmern, während$\delta S$benötigt ein Raumzeitintegral. Entweder bedeuten die beiden dasselbe oder eine subtile Sache, die ich übersehen habe, macht sie am Ende gleich.

UPDATE 1: Ich glaube, ich habe Q1 (oder zumindest teilweise) herausgefunden. Es hat damit zu tun, dass Weinberg die Euler-Lagrange für räumliche Ableitungen und zeitliche Ableitungen aufteilen musste, so behandelte er$\partial_j\Phi$Und$\dot{\Phi}$getrennt (siehe Diskussionen um seine Gleichung (7.2.1-7.2.7) oder so). Ich könnte sicherlich eine Klarstellung/Bestätigung gebrauchen.

Funktionelles Derivat in GR

In GR gibt es eine Situation, in der Sie mit kanonischem Formalismus arbeiten möchten, was dazu führt, dass Sie Oberflächenladungen und Erhaltungsgrößen ähnlich wie oben verstehen. Der übliche Unterschied besteht jedoch darin, dass die Methode formal unterschiedliche Formen hat, um Dinge zum Laufen zu bringen. Sie arbeiten nicht mit der Lagrange-Dichte, sondern mit der Lagrange-4-Form$\mathbf{L}$(siehe z. B. Iyer-Wald-Formalismus oder fortgeschrittene Vorlesungsunterlagen zu GR von Compere hier, neben vielen anderen). Hier drin,$\mathbf{L} = L\,d^4x$So$L$ist wirklich eine Lagrange-Dichte, wie wir sie normalerweise in QFT kennen. Konzentrieren wir uns der Einfachheit halber auf Comperes Notizen (die ziemlich sauber und gut geschrieben sind). In diesen Kontexten jedoch die Variation von$\mathbf{L}$ist derjenige, der die Bewegungsgleichung gibt, und sie formal definieren

$$\begin{align} \frac{\delta L}{\delta \Phi}:=\frac{\partial L}{\partial \Phi}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu\Phi)}\,. \end{align}$$

Soweit ich weiß, ist die Berechnung in diesen Kontexten, in denen mit Lagrangescher 4-Form und symplektischem Formalismus gearbeitet wird, streng (Modulo macht Hardcore-Analyse), dh es gibt kein Handwinken und was auch immer, aber die Definitionen hier sind für mich nicht mit QFT vereinbar Ich habe oben geschrieben: immerhin in diesen beiden Papieren/Notizen$L$ist die Lagrange-Dichte und würde daher durch Ersetzen$L$mit$\mathcal{L}$zur QFT-Version passen, bedeutet, dass die Euler-Lagrange-Gleichung ist

$$\begin{align} 0=\frac{\delta \mathcal L}{\delta \Phi} \neq \frac{\delta S}{\delta \Phi}\,,\frac{\delta L_{\text{Weinberg}}}{\delta \Phi}\,. \end{align}$$ Beachten Sie auch, dass in diesem Formalismus die Definition des konservierten Spannungstensors auch aus der Variation der Lagrange-4-Form in Bezug auf den durch den Vektor erzeugten infinitesimalen Diffeomorphismus folgt$\xi^\mu$, dh $$\begin{align} \delta_\xi\mathbf{L} = \text{d}(...)\Longrightarrow \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\,. \end{align}$$ Wo$\text{d}(...)$ist eine äußere Ableitung einer 3er-Form (dh RHS ist eine exakte 4er-Form).

F2: Ist dieser Notationsmissbrauch, Inkonsistenz oder gibt es etwas, das mir hier grundlegend fehlt?

Ausgerechnet ich finde es schwer zu glauben, dass Wald/Compere (und viele andere, an die ich mich nicht erinnern kann) Notationen dieser Art (wenn überhaupt) missbrauchen, also übersehe ich entweder etwas Triviales oder es geht etwas vor sich, dass ich verstehe nicht.