Variation eines Begriffs im Lagrange

In dieser Antwort werden wir nur eine allgemeine konzeptionelle Bemerkung zur Variations-/Funktionsableitung (FD) machen, die hoffentlich implizit die spezifischen Fragen von OP beantwortet.

OP erwägt offenbar die FD mit der gleichen Raumzeit.

$$\tag{A}\frac{\delta {\cal L}(x)}{\delta\phi^{\alpha} (x)}~:=~ \frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\phi^{\alpha} (x)} - d_{\mu} \left(\frac{\partial{\cal L}(x) }{\partial\partial_{\mu}\phi^{\alpha} (x)} \right)+\ldots.$$

[Wir verwenden das Symbol$d_{\mu}\equiv\frac{d}{d x^{\mu}}$(statt$\partial_{\mu}\equiv\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$), um die Tatsache zu betonen, dass das Derivat$d_{\mu}$ist eine totale Ableitung, die sowohl eine implizite Differenzierung durch die Feldvariablen beinhaltet$\phi^{\alpha}(x)$, und explizite Differenzierung bzgl.$x^{\mu}$. Die Ellipse$\ldots$in Gl. (A) bezeichnet mögliche Beiträge von Raumzeitableitungen höherer Ordnung.]

Die 'gleiche Raumzeit' FD ist so ausgelegt, dass sie eine kürzere Notation ergibt und die wohlbekannte Euler-Lagrange-Formel für die Variations-/Funktionsableitung reproduziert.

Aber es ist wichtig zu betonen, dass die Notation „gleiche Raumzeit“ (A) konzeptionell irreführend ist: Wir variieren nicht die Lagrange-Dichte${\cal L}(x)$wrt. das Feld$\phi^{\alpha} (x)$im selben Raumzeitpunkt$x$, wie die Notation (A) vermuten lässt. Wir variieren wirklich die Aktion funktional $S=\int\! d^ny~{\cal L}(y)$wrt. das Feld$\phi^{\alpha} (x)$.

Für weitere Informationen siehe zB auch this und this Phys.SE posts.

Das funktionale Derivat$\frac{\delta}{\delta \phi}$wirkt auf Funktionale , Dinge, die Funktionen auf reelle Zahlen abbilden. Das heißt, sie handeln nach Aktionen$S$, nicht Lagrangianer$L$. Ich weiß nicht, woher Sie Ihre ursprüngliche Frage haben, aber es sollte tatsächlich ein Minuszeichen geben! Alles in allem denke ich, was Sie fragen, warum:

$$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

Es gibt schnelle Formeln, die Sie nachschlagen können, aber zum Verständnis finde ich es immer am einfachsten, die Variation direkt durchzuarbeiten. Nehmen Sie zuerst Ihre Amtszeit$\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi$und mach die Verwandlung$\phi \to \phi + \delta \phi$:

$$\begin{align*} \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi &\to \frac{1}{2} \partial^\mu (\phi+\delta \phi) \partial_\mu (\phi + \delta \phi) \\ &= \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu (\delta \phi) \partial_\mu \phi + \frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu (\delta \phi) + \mathcal{O}(\delta\phi^2) \end{align*}$$

Jetzt können Sie wahrscheinlich sehen, wohin das führt, die$1/2$wird von den beiden abgerechnet$\delta \phi$Bedingungen in der Erweiterung. Das ist wirklich nur eine Produktregel!

Zum Extrahieren der$\delta \phi$Sie können jeden Term nach Teilen integrieren und die Gesamtableitung fallen lassen, da dies Physik ist und an der Grenze alles 0 ist :)

$$\begin{align*} \delta \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) &= \int d^4 x\left(-\frac{1}{2}\delta \phi \ \partial^\mu \partial_\mu \phi - \frac{1}{2}\partial_\mu\partial^\mu \phi \ \delta \phi + \partial_\mu(\dots) \right )\\ &= \int d^4 x \ \delta \phi \left( -\partial^\mu \partial_\mu \phi \right) \end{align*}$$ Die Antwort ist nur der Integrand, ohne die $\delta \phi$, also schreiben wir abschließend: $$\frac{\delta}{\delta \phi} \int d^4x \left(\frac{1}{2} \partial^\mu \phi \partial_\mu \phi\right) = - \partial^\mu \partial_\mu \phi \ .$$

Abschnitt 9.2 von Peskin & Schroeder führt die Axiome der funktionalen Integration durch, falls Sie eine formellere Betrachtungsweise wünschen.