Zweifel an der funktionellen Ableitung von Lagrange

Vortrag XXXIII: Lagrangesche Formulierung von GR von Christopher M. Hirata

NICHT WECHSELWIRKENDER STAUB

Stellen Sie sich ein System mit einer Reihe von Teilchen {A} vor, die jeweils eine Masse haben$\mu_{A}$einer Reihe von Trajektorien folgen$x^{\mu}(\sigma|A)$wo ist ein Partikelindex und$\sigma$ist eine Koordinate auf der Weltlinie. Die Aktion für solche Teilchen ist:

$$S = \sum_{A} \mu_{A} \int d\tau = -\sum_{A} \mu_{A} \int\sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^{\mu}}{d\sigma}\dfrac{dx^{\nu}}{d\sigma}}d\sigma.\tag{28}$$

$$\delta S = \dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A}\int u^{\mu}u^{\nu}\delta g_{\mu\nu}d\tau.\tag{29}$$

Daher ist die funktionale Ableitung:

$$\dfrac{\delta S_{matter}}{\delta g_{\mu \nu}(y^{\alpha})}=\dfrac{1}{2}\sum_{A}\mu_{A} \int u^{\mu}u^{\nu} \delta^{(4)}[y^{\alpha}-x^{\alpha}(\tau|A)]d\tau\tag{30}$$

$\delta^{(4)}$ist der$4$D-Delta-Funktion.

MEINE FRAGE

Ich habe das PDF (auch oben angehängt) zur Ableitung des Stress-Energie-Tensors aus Aktionen durchgesehen . Ich bin auf die Gleichungen gestoßen$(29)$Und$(30)$. Kann jemand Hilfe bei der Intuition oder dem Prozess des Wie leisten?$(30)$ist abgeleitet von$(29)$? Ich bin hier ehrlich gesagt ahnungslos.

Oben sind die Gleichungen$(28)$,$(29)$Und$(30)$aus dem PDF.