Ableitung des ersten Newtonschen Gesetzes aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung

Das erste Newtonsche Gesetz besagt, dass wenn die Nettokraft auf ein Objekt Null ist, sich dieses Objekt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Mich interessiert die Ableitung dieses Gesetzes aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Was bewiesen werden sollte, ist ziemlich einfach: Bei einem Objekt, das sich in einem isolierten System ohne jegliche Kraftfelder befindet, ist die Lagrange-Funktion dieses Objekts einfach seine kinetische Energie.

Die Positionsfunktion dieses Objekts sei gegeben durch X ( T ) . Dies ist eine willkürliche nichtlineare Funktion. seine kinetische Energie ist gegeben durch 1 2 M [ X ' ( T ) ] 2 . ein Zeitintervall gegeben [ T 1 , T 2 ] Die Wirkung dieses Objekts setzt sich aus dem Zeitintegral seiner Lagrange-Funktion (in diesem Fall seiner kinetischen Energie) zusammen T 1 Zu T 2 :

Aktion = S = ∫ T 1 T 2 1 2 M [ X ' ( T ) ] 2 D T .

Bewegt sich das Objekt in einer gleichförmigen Bewegung entlang X ( T 2 ) − X ( T 1 ) im Intervall [ T 1 , T 2 ] dann ist seine Geschwindigkeit einfach durch die Durchschnittsgeschwindigkeit gegeben: Gesamtstrecke nach Zeit:

v Durchschnitt = X ( T 2 ) − X ( T 1 ) T 2 − T 1 .

Unter Verwendung des Prinzips der kleinsten Wirkung ist der Beweis des ersten Newtonschen Gesetzes gleichbedeutend mit dem Beweis, dass die Wirkung gegeben ist durch

∫ T 1 T 2 1 2 M [ X ( T 2 ) − X ( T 1 ) T 2 − T 1 ] 2 D T

ist immer kleiner als die von

∫ T 1 T 2 1 2 M [ X ' ( T ) ] 2 D T .

So verstehe ich das Problem. Feynman liefert in seinen Vorlesungen ein Argument, um uns zu überzeugen, warum das obige Ergebnis, das ich angegeben habe, wahr sein muss (das Ergebnis ist, dass das Zeitintegral der kinetischen Energie eines Objekts in gleichförmiger Bewegung immer kleiner ist als das eines Objekts in ungleichförmiger Bewegung). :

„Nehmen wir zum Beispiel an, Ihre Aufgabe ist es, von zu Hause aus in einer bestimmten Zeit mit dem Auto zur Schule zu fahren. Sie können dies auf verschiedene Arten tun: Sie können am Anfang wie verrückt beschleunigen und gegen Ende mit den Bremsen langsamer werden, oder Sie können mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit fahren, oder Sie können eine Weile rückwärts fahren und dann vorwärts fahren und so weiter . Die Sache ist, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit natürlich die Gesamtstrecke sein muss, die Sie im Laufe der Zeit zurückgelegt haben. Aber wenn Sie alles andere als mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit fahren, dann fahren Sie manchmal zu schnell und manchmal zu langsam. Nun ist das mittlere Quadrat von etwas, das um einen Durchschnitt abweicht, wie Sie wissen, immer größer als das Quadrat des Mittelwerts; Das Integral der kinetischen Energie wäre also immer höher, wenn Sie Ihre Geschwindigkeit schwanken würden, als wenn Sie mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit fahren würden.

Der Teil, den ich verstehe: Es stimmt, dass die Wirkung eines Objekts, das sich gleichförmig bewegt, durch das Integral von „ dem Quadrat des Mittelwerts “ der Geschwindigkeit multipliziert mit gegeben ist 1 2 M . Ich denke, mit Quadrat des Mittelwerts meint er: v Durchschnitt 2 = [ X ( T 2 ) − X ( T 1 ) T 2 − T 1 ] 2 .

Ich verstehe nicht, wie der Lagrangian eines Objekts, das sich ungleichmäßig bewegt, gleich dem „ mittleren Quadrat von etwas ist, das um einen Durchschnitt abweicht “ (wiederum multipliziert mit M / 2 ).

Ich nehme an, er meint mit dem mittleren Quadrat: den Mittelwert (oder Durchschnitt) der kinetischen Energie dieses Körpers: das heißt:

1 2 M [ X ' ( T 2 ) ] 2 − 1 2 M [ X ' ( T 2 ) ] 2 T 2 − T 1 .

Ist mein Verständnis richtig? und wenn ja, wie kommt es, dass dieser "mittlere quadratische" Ausdruck gleich dem Lagrangian eines Objekts mit ungleichförmiger Bewegung ist?

Sie leiten nicht Newtons erstes Gesetz ab. Du leitest einen Sonderfall ab. Das Newtonsche Gesetz gilt auch für Situationen, in denen ein Skalarpotential vorhanden ist, das dort, wo sich das Teilchen befindet, flach ist. Und in Situationen, in denen mehrere Kräfte, aber keine Nettokraft vorhanden sind. Außerdem werden Sie das erste Gesetz nicht ableiten, da die Lagrange-Formulierung das zweite Gesetz ableitet, was das erste Gesetz nicht impliziert.

Antworten (2)

Zuerst ein paar allgemeine Ergebnisse: gegeben eine Funktion F ( T ) und ein Intervall T = [ T 1 , T 2 ] , das Quadrat des Mittelwerts von F An T Ist

⟨ F ⟩ T 2 = ( 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 F ( T ) D T ) 2
und der Mittelwert des Quadrats von F An T Ist
⟨ F 2 ⟩ T = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ F ( T ) ] 2 D T
In diesem Fall ist die relevante Funktion die Geschwindigkeit, also haben Sie (oder können Sie zeigen).
⟨ v ⟩ T 2 = ( X ( T 2 ) − X ( T 1 ) T 2 − T 1 ) 2 ⟨ v 2 ⟩ T = 1 T 2 − T 1 ∫ T 1 T 2 [ v ( T ) ] 2 D T
Dein Fehler war, das zu denken
(nicht richtig) ⟨ v 2 ⟩ T = [ v ( T 2 ) ] 2 − [ v ( T 1 ) ] 2 T 2 − T 1
Es ist nicht immer so, dass der Mittelwert ein Endwert minus ein Anfangswert geteilt durch das Intervall ist. Das funktioniert nur, wenn das Ding, von dem Sie den Mittelwert berechnen, integriert werden kann.

In Anbetracht dessen sollte klar sein, wie relevant der Mittelwert des Quadrats ist: Er taucht direkt in der Lagrange-Funktion auf.

Hinweise:

  1. Mit Mittelwert/Durchschnitt bezeichnet Feynman den zeitlichen Mittelwert/Durchschnitt, definiert als

    (1) ⟨ F ⟩   :=   ∫ T ich T F D T   F ( T ) T F − T ich .

  2. Ungleichheit: Das mittlere Quadrat ist immer größer als das Quadrat des Mittelwerts

    (2) ⟨ F 2 ⟩   ≥   ⟨ F ⟩ 2 .
    Es gibt mehrere Beweise der Ungleichung. (2), dh die Varianz ist immer nicht negativ.

  3. Endlich gestellt F ( T ) = v ( T ) .

Ihre Hinweise waren sehr hilfreich, ich weiß das zu schätzen.
Ableitung des ersten Newtonschen Gesetzes aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung
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