Verwendung des Begriffs Abhängigkeit erster Ordnung

Question

Verwendung des Begriffs Abhängigkeit erster Ordnung

Anonym

In einer Frage, die ich mache, heißt es:

Zeigen Sie explizit, dass die Funktion
$j (T) = \frac{- G T^{2}}{2} + ϵ T (T - 1)$ $y(t)=\frac{-gt^2}{2}+\epsilon t(t-1)$ ergibt eine Aktion, von der keine Abhängigkeit erster Ordnung besteht $\epsilon$ .

Das sagt auch mein Lehrbuch

[...] eine bestimmte Funktion $x_0(t)$ ergibt einen stationären Wert von $S$ dann jede andere Funktion ganz in der Nähe $x_0(t)$ (mit denselben Endpunktwerten) ergibt im Wesentlichen dasselbe $S$ , bis zur ersten Ordnung aller Abweichungen.

Ich bin verwirrt über das Bit erster Ordnung? Im ersten Fall bedeutet es das $\frac{\partial S}{\partial \epsilon}=0$ oder davon hängt es nicht ab $\epsilon$ kann aber einen anderen konstanten Wert annehmen. Bedeutet es im zweiten Fall dasselbe oder etwas anderes, bitte erläutern?

ACuriousMind

Was meinst du mit einer Funktion, die eine Aktion ergibt ? Setzen wir

S = \int y (t) d t

$S = \int y(t) \mathrm{d}t$ oder so?

Benutzer43487

@ACuriousMind Nein, tut mir leid, ich denke, es bedeutet

S = \int L (y (t), y^{'} (t), t) d t

$S=\int L(y(t),y'(t),t) dt$ wobei L die Lagrange-Funktion ist

Benutzer43487

@Danu Ich frage nicht nach einer Lösung und kann es selbst gut finden. Ich möchte einfach wissen, was es bedeutet, wenn es heißt, erste Ordnung einer Abweichung und keine Abhängigkeit erster Ordnung.

Danu

Okay. Das bedeutet einfach

δ S = O (ϵ^{2})

$\delta S =\mathcal{O}(\epsilon^2)$ Wo

ϵ

$\epsilon$ ist klein.

Benutzer43487

@ Danu Entschuldigung, was ist die Beziehung zwischen

δ S

$\delta S$ Und

\frac{\partial S}{\partial ϵ}

$\frac{\partial S}{\partial \epsilon}$ wenn es einen gibt?? Danke

Danu

S

$S$ ist eine Funktion, also nimmt es Funktionen als Argumente. Das bedeutet auch, dass Sie funktionale Ableitungen nehmen. Also sowas wie

\frac{δ S}{δ y}

$\frac{\delta S}{\delta y}$ würde mehr Sinn machen ... Tatsächlich ist das, was man normalerweise tut, eingestellt

\frac{δ S}{δ y} = 0

$\frac{\delta S}{\delta y}=0$ , dh einen stationären Punkt der Wirkung finden, um die Bewegungsgleichungen herzuleiten.

Benutzer43487

@ Danu definieren wir einfach

δ S

$\delta S$ als Unterschied in der Wirkung vom stationären Punkt und der der neuen Funktion?

Danu

Nein, aber

δ S

$\delta S$ gleich Null ist, wenn wir uns an einem stationären Punkt der Aktion befinden, dh wenn eine infinitesimale Variation (normalerweise von

y (t)

$y(t)$ Blätter

S

$S$ invariant (erster Ordnung).

Benutzer43487

@ Danu Was ist

δ S

$\delta S$ Dann?

Danu

Lassen Sie uns diese Diskussion im Chat fortsetzen .

Daniel Sank

Der Titel dieser Frage sollte präzisiert werden.

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Verwendung des Begriffs Abhängigkeit erster Ordnung

Was meinst du mit einer Funktion, die eine Aktion ergibt ? Setzen wir $S = \int y(t) \mathrm{d}t$ oder so?
@ACuriousMind Nein, tut mir leid, ich denke, es bedeutet $S=\int L(y(t),y'(t),t) dt$ wobei L die Lagrange-Funktion ist
@Danu Ich frage nicht nach einer Lösung und kann es selbst gut finden. Ich möchte einfach wissen, was es bedeutet, wenn es heißt, erste Ordnung einer Abweichung und keine Abhängigkeit erster Ordnung.
Okay. Das bedeutet einfach $\delta S =\mathcal{O}(\epsilon^2)$ Wo $\epsilon$ ist klein.
@ Danu Entschuldigung, was ist die Beziehung zwischen $\delta S$ Und $\frac{\partial S}{\partial \epsilon}$ wenn es einen gibt?? Danke
$S$ ist eine Funktion, also nimmt es Funktionen als Argumente. Das bedeutet auch, dass Sie funktionale Ableitungen nehmen. Also sowas wie $\frac{\delta S}{\delta y}$ würde mehr Sinn machen ... Tatsächlich ist das, was man normalerweise tut, eingestellt $\frac{\delta S}{\delta y}=0$ , dh einen stationären Punkt der Wirkung finden, um die Bewegungsgleichungen herzuleiten.
@ Danu definieren wir einfach $\delta S$ als Unterschied in der Wirkung vom stationären Punkt und der der neuen Funktion?
Nein, aber $\delta S$ gleich Null ist, wenn wir uns an einem stationären Punkt der Aktion befinden, dh wenn eine infinitesimale Variation (normalerweise von $y(t)$ Blätter $S$ invariant (erster Ordnung).

QMechaniker · Answer 1

Hinweise:

Die Aktion ist
$\begin{matrix} (A) & S [j] := \int_{0}^{1} D T L (j, \dot{j}), L (j, \dot{j}) := \frac{M}{2} {\dot{j}}^{2} - M G j, \end{matrix}$ $\tag{A} S[y]:=\int_0^1 \! dt ~L(y,\dot{y}), \qquad L(y,\dot{y})~:=~\frac{m}{2}\dot{y}^2 -mgy,$ mit Dirichlet-Randbedingungen $\begin{matrix} (B) & j (0) = 0 Und j (1) = - \frac{G}{2} . \end{matrix}$ $\tag{B} y(0)~=~0 \quad\text{and}\quad y(1)~=~-\frac{g}{2}.$
Berechnen Sie explizit die zusammengesetzte Funktion
$\begin{matrix} (C) & S (ϵ) := S [j_{ϵ}], \end{matrix}$ $\tag{C} s(\epsilon)~:=~ S[y_{\epsilon}] ,$ Wo $\begin{matrix} (D) & j_{ϵ} (T) := - \frac{G T^{2}}{2} + ϵ T (T - 1) . \end{matrix}$ $\tag{D} y_{\epsilon}(t)~:=~-\frac{gt^2}{2}+\epsilon t(t-1).$
Überprüfen Sie, ob die virtuellen Pfade (D) die Dirichlet-Randbedingungen (B) erfüllen. Warum müssen wir das überprüfen?
Zeigen Sie explizit, dass die Funktion $s(\epsilon)$ hat keine Abhängigkeit erster Ordnung von $\epsilon$ . Welche physikalische Bedeutung hat diese Tatsache?

Verweise:

David Morin , The Lagrangian Method, Kap. 6, Vorlesungsunterlagen, 2007; Übung 6.30.

Das ist die richtige Frage, es ist Ihr 4. Hinweis, dass meine Frage männlich ist, habe ich bekommen $S=\frac{gm}{6}(g+1)+\frac{\epsilon^2}{6}$ Als meine Antwort reicht es zu sagen, dass dies nicht davon abhängt $\epsilon$ Leistung 1??
@Joseph: Da stimmt etwas nicht $m$ Und $g$ Abhängigkeiten. Bitte überprüfen Sie Ihr Ergebnis noch einmal.
Entschuldigung, das ist, was ich habe, $S=\frac{mg^2}{3}+\frac{ m\epsilon^2}{6}$

AraZeph · Answer 2

Abhängigkeit erster Ordnung – Eine Abhängigkeit, die eine direkte kausale Beziehung darstellt (z. B. wenn Agent x Ereignis z erzeugt, sagen wir, dass „x eine Abhängigkeit erster Ordnung von z ist“).

Referenz: http://www.testability.com/Reference/Glossaries.aspx?Glossary=DependencyModeling

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