Euler-Lagrange-Gleichung und Trägheitsmoment

Eine der impliziten Annahmen, die die Frage verwendet, ist, dass die Masse des Festkörpers konstant ist und dass die Dichte des Festkörpers konstant ist. Wenn die Masse nicht konstant ist, können Sie sie auf Null setzen. Wenn die Dichte nicht konstant wäre, könnte man die Masse zwar zu einer dünnen Achse unendlicher Dichte zerdrücken, aber das wäre nicht charakteristisch für viele Festkörper!

Konstante Masse bedeutet

$$\int_0^h \rho \pi r^2 \, \mathrm{d}z = M = \text{const.}$$

oder äquivalent als Zwangsgleichung

$$G(r) = \int_0^h \rho \pi r^2 - \frac{M}{h} \, \mathrm{d}z = 0$$

(Konstante Dichte ist einfacher zu erzwingen: Lassen Sie einfach die Variable$\rho$konstant sein)

Daher ist das Problem jetzt:

Minimieren$I(r) = \int_0^h \frac{1}{2}\rho \pi r^4 \, \mathrm{d}z$so dass$G(r) = \int_0^h \rho \pi r^2 - \frac{M}{h} \, \mathrm{d}z = 0$

Das heißt, Sie haben jetzt ein eingeschränktes Variationsproblem, das die Verwendung eines Lagrange-Multiplikators erfordert $\lambda$. Also ist die Kostenfunktion stattdessen

$$J(r,\lambda) = I(r) + \lambda G(r) = \int_0^h \frac{1}{2} \rho \pi r^4 + \lambda \left(\rho \pi r^2 - \frac{M}{h}\right) \, \mathrm{d}z = \int_0^h F(r,\lambda) \, \mathrm{d}z$$

Der Lagrange-Multiplikator$\lambda$verhält sich nun wie eine Additionsvariable zum Minimieren, sodass die Lösung durch Auswerten erhalten wird

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{\partial F}{\partial r'}\right) - \frac{\partial F}{\partial r} = 0$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac{\partial F}{\partial \lambda'}\right) - \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0$$

wobei der Strich die Differenzierung in Bezug auf bezeichnet$z$. (Seit Nr$r'$oder$\lambda'$Terme vorhanden sind, sind die ersten Terme der obigen Gleichungen gleich Null).

Wenn Sie dies lösen, erhalten Sie den Zylinder als optimalen Festkörper.