Ableitung der Dirac-Gleichung unter Verwendung der Lagrange-Dichte für das Dirac-Feld

Die Lagrange-Dichte für ein Dirac-Feld ist

$$\mathcal{L} = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m \bar\psi\psi$$ Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\right] = 0$$ Wir behandeln $\psi$Und $\bar\psi$als unabhängige dynamische Variablen. Tatsächlich ist es einfacher, die Euler-Lagrange für zu berücksichtigen $\bar\psi$ $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\bar\psi} - \frac{\partial}{\partial x^\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar\psi)}\right] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi - \frac{\partial}{\partial x^\mu}[ 0] = 0\\ \Rightarrow i\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\psi=0$$ Die partielle Differenzierung ist trivial – denken Sie daran $\bar\psi$Und $\partial_\mu\bar\psi$werden wie unabhängig behandelt. Wir stellen die Dirac-Gleichung wie erwartet wieder her. Hätten wir uns stattdessen für die Euler-Lagrange entschieden $\psi$, hätten wir die konjugierte Dirac-Gleichung gefunden.