Goldsteins Herleitung des „Prinzips der kleinsten Wirkung“

Es gibt bereits mehrere gute Antworten, die die Algebra zeigen. Hier werden wir einige Anmerkungen zu der Frage (v4) bezüglich Terminologie und Notation machen, die das eine oder andere klären können. (Im Folgenden beziehen wir uns auf die$q$Positionsraum als vertikaler Raum und der$t$Zeitachse als horizontaler Raum.)

1. Üblicherweise bezieht sich das Prinzip der kleinsten Wirkung auf das Prinzip der stationären Wirkung/Hamilton-Prinzip

   $$\delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~ L~=~0. \tag{2.2}$$ Bei diesem Variationsprinzip die infinitesimale Variation$\delta q^i$ist rein vertikal$\delta t=0$, und die Anfangs- und Endzeiten$t_i$Und$t_f$werden fest gehalten.

2. Beachten Sie, dass das, was Goldstein in Ref. 1 das Prinzip der kleinsten Wirkung verwirrend nennt, wird gewöhnlich Prinzip der abgekürzten Wirkung/Maupertuis-Prinzip genannt

   $$\Delta \int_{t_i}^{t_f}\! dt~p_j \dot{q}^j~~=~0, \tag{8.80}$$ vgl. zB Art.-Nr. 2. Bei diesem Variationsprinzip die infinitesimale Variation $$\Delta q^j~=~ \delta q^j + \dot{q}^j \Delta t \tag{8.76}$$ besteht nun aus vertikalen und horizontalen Variationen. Die Gesamtenergie$E$aller Pfade wird fest und gleich gehalten; während die Anfangs- und Endzeiten$t_i$Und$t_f$sind frei.

3. Für autonome Systeme können die beiden obigen Variationsprinzipien als Legendre-Transformationen voneinander in Bezug auf die dualen Legendre-Variablen angesehen werden

   $$E\quad\longleftrightarrow\quad \Delta t~:=~t_f-t_i.$$ In beiden Variationsprinzipien behalten wir normalerweise die Anfangs- und Endpositionen bei$q^j_i$Und$q^j_f$Fest.

Verweise:

1. H. Goldstein, Klassische Mechanik; Abschnitt 8.6.

2. LD Landau & EM Lifshitz, Mechanik, Bd. 1, 1976;$\S 44$.

Sie können brechen$\int_{t_1+\Delta t_1}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$hinein$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} +\int_{t_1}^{t_2} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$. Dann von diesen drei Stücken, die$\int_{t_1}^{t_2}$Stück kombiniert mit dem$-\int_{t_1}^{t_2} L(0) dt$Stück, um Ihnen das zu geben$\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$.

Das bedeutet, dass$\left( \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1} + \int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2}\right)L(\alpha) dt$muss dir geben$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1$. Mal sehen, wie das passiert. Im Allgemeinen haben wir$\int_x^{x+h} f(x) dx = F(x+h)-F(x) \approx F'(x)h = f(x)h$, Wo$F$ist eine Stammfunktion von$f$. Wenden Sie dies an$\int_{t_2}^{t_2+\Delta t_2} L(\alpha) dt$, wir erhalten$L(t_2)\Delta t_2$. Beachten Sie hier, dass wir nicht angegeben haben, ob$L$in diesem Ausdruck ist der tatsächliche oder veränderte Weg auszuwerten. Dies liegt daran, dass diese Pfade sehr nahe beieinander liegen, sodass es auf der Ebene der Annäherung, die wir durchführen, keine Rolle spielt. Wie auch immer, die Bewertung$t_1$Stück, finden wir$\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_1}L(\alpha) dt=-\int_{t_1 }^{t_1+ \Delta t_1}L(\alpha) dt = -L(t_1)\Delta t_1$.

Wenn wir die beiden resultierenden Teile aus dem vorherigen Absatz zu dem resultierenden Teil aus dem ersten Absatz addieren, erhalten wir$L(t_2)\Delta t_2-L(t_1)\Delta t_1 + \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt$, was wir wollten.