Polyakov Von Nambu-Goto direkt, für Streicher?

Question

Polyakov Von Nambu-Goto direkt, für Streicher?

bolbteppa

Die folgende Ableitung, für ein klassisches relativistisches Punktteilchen, der 'Polyakov'-Form der Aktion aus der 'Nambu-Goto'-Form der Aktion, ohne irgendwelche Tricks - keine Bewegungsgleichungen oder Lagrange-Multiplikatoren nur ein direkter Satz von Gleichungen . ist wie folgt:

S = - M \int D S = - M \int \sqrt{- G_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} D τ = - M \int \sqrt{- {\dot{X}}^{2}} D τ = \frac{- M}{2} \int \frac{- 2 {\dot{X}}^{2}}{\sqrt{- {\dot{X}}^{2}}} D τ = \frac{1}{2} \int \frac{{\dot{X}}^{2} + {\dot{X}}^{2}}{\sqrt{- {\dot{X}}^{2} / M^{2}}} D τ = \frac{1}{2} \int \frac{{\dot{X}}^{2} - M^{2} (- {\dot{X}}^{2} / M^{2})}{\sqrt{- {\dot{X}}^{2} / M^{2}}} D τ = \frac{1}{2} \int (e^{- 1} {\dot{X}}^{2} - e M^{2}) D τ

$S = - m \int ds = - m \int \sqrt{-g_{\mu \nu} \dot{X}^{\mu} \dot{X}^{\nu}} d \tau = - m \int \sqrt{- \dot{X}^2}d \tau = \frac{-m}{2} \int \frac{-2\dot{X}^2}{\sqrt{-\dot{X}^2}}d \tau \\ = \frac{1}{2} \int \frac{\dot{X}^2 + \dot{X}^2}{\sqrt{-\dot{X}^2/m^2}}d \tau = \frac{1}{2} \int \frac{\dot{X}^2 - m^2(-\dot{X}^2/m^2)}{\sqrt{-\dot{X}^2/m^2}}d \tau = \frac{1}{2} \int (e^{-1} \dot{X}^2 - e m^2)d \tau$

Abgesehen vom zufälligen Hinzufügen $\frac{m^2}{m^2}$ zu nur einem der $\dot{X}^2$ Begriffe in der vorletzten Gleichheit ( kann das jemand erklären, ohne sich auf die EOM oder LMs zu beziehen? ), ist diese Ableitung völlig unkompliziert.

Kann eine ähnlich einfache Ableitung der Polyakov-Saitenwirkung von der Nambu-Goto-Saitenwirkung gegeben werden, ohne die Polyakov-Wirkung im Voraus zu kennen?

Die beste Hoffnung ergibt sich aus der Umkehrung der letzten Zeile dieser Wikipedia-Rechnung :

S = \frac{T}{2} \int D^{2} σ \sqrt{- H} H^{A B} G_{A B} = \frac{T}{2} \int D^{2} σ \frac{2 \sqrt{- G}}{H^{C D} G_{C D}} H^{A B} G_{A B} = T \int D^{2} σ \sqrt{- G}

$S = \frac{T}{2}\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-h}h^{ab}G_{ab}=\frac{T}{2}\int\mathrm d^2\sigma\frac{2\sqrt{-G}}{h^{cd}G_{cd}}h^{ab}G_{ab}=T\int\mathrm d^2\sigma\sqrt{-G}$

aber es ist so zufällig, unmotiviert und unerklärlich, dass ich es nicht als offensichtlich ansehen kann, eine solche Berechnung durchzuführen. Ich kann das Hinzufügen locker motivieren $\frac{h^{ab}G_{ab}}{h^{cd}G_{cd}}$ durch notieren $\sqrt{-G}$ ist wie das Volumenelement der allgemeinen Relativitätstheorie, das uns sagt, wir sollen etwas hinzufügen $1 =$ Zeug gebaut aus dem, was unter der Quadratwurzel über sich selbst steht , aber das war's, das $2$ 's sind auch ziemlich zufällig ...

[ Das ist nett, aber (vielleicht irre ich mich) ich sehe es als zu verschieden von dem, was ich frage].

QMechaniker

Für die entgegengesetzte Frage, von der Polyakov-Aktion zur Nambu-Goto-Aktion zu wechseln, siehe physical.stackexchange.com/q/17349/2451 und darin enthaltene Links.

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Polyakov Von Nambu-Goto direkt, für Streicher?

Für die entgegengesetzte Frage, von der Polyakov-Aktion zur Nambu-Goto-Aktion zu wechseln, siehe physical.stackexchange.com/q/17349/2451 und darin enthaltene Links.

QMechaniker · Answer 1

I) OP fordert eine direkte/vorwärts gerichtete Ableitung von der Nambu-Goto (NG)-Aktion zur Polyakov (P)-Aktion (im Gegensatz zur entgegengesetzten Ableitung). Dies ist nicht trivial, da die Polyakov-Aktion die World-Sheet (WS)-Metrik enthält $h_{\alpha\beta}$ mit 3 weiteren Variablen im Vergleich zur Nambu-Goto-Aktion.

Obwohl wir derzeit keine natürliche Vorwärtsableitung aller 3 neuen Variablen haben, haben wir für 2 der 3 Variablen eine, siehe Abschnitt IV unten.

II) Lassen Sie uns zunächst ein paar Worte zur Herleitung des relativistischen Punktteilchens sagen

\begin{matrix} (1) & L := \frac{{\dot{X}}^{2}}{2 e} - \frac{e M^{2}}{2} \end{matrix}

$L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2}\tag{1}$

aus dem Quadratwurzel-Lagrange

\begin{matrix} (2) & L_{0} := - M \sqrt{- {\dot{X}}^{2}} . \end{matrix}

$L_0~:=~-m\sqrt{-\dot{x}^2}.\tag{2}$

Beachten Sie, dass die Ableitung von OP die Tatsache nicht erklärt / beleuchtet, dass der Einbein / Lagrange-Multiplikator

\begin{matrix} (3) & e > 0 \end{matrix}

$e~>~0\tag{3}$

kann als unabhängige Variable genommen werden und nicht nur als triviale Umbenennung der Größe $\frac{1}{m}\sqrt{-\dot{x}^2}>0$ . Es ist eine wichtige Eigenschaft des Lagrange-Operators (1), dass wir den Einbein/Lagrange-Multiplikator (3) unabhängig variieren können. Die Bitte von OP, keine Lagrange-Multiplikatoren zu verwenden, scheint fehlgeleitet zu sein, und wir werden dieser Anweisung nicht folgen.

III) Es ist möglich, den Lagrange-Operator (1) mit seinem Lagrange-Multiplikator direkt/vorwärts/natürlich abzuleiten $e$ aus dem Quadratwurzel-Lagrange (2) wie folgt:

Leiten Sie die Hamilton-Version des Quadratwurzel-Lagrange (2) über eine (singuläre) Legendre-Transformation ab. Dies ist eine einfache Anwendung des einzigartigen Dirac-Bergmann-Rezepts. Dies führt zu Impulsvariablen $p_{\mu}$ und eine Einschränkung mit entsprechendem Lagrange-Multiplikator $e$ . Die Einschränkung spiegelt die Weltlinien-Reparametrisierungsinvarianz der Quadratwurzelaktion wider (1). Der Hamiltonian $H$ wird von der Form 'Lagrange-Multiplikator-Zeitbeschränkung':
$\begin{matrix} (4) & H = \frac{e}{2} (P^{2} + M^{2}) . \end{matrix}$ $H~=~\frac{e}{2}(p^2+m^2).\tag{4}$ Siehe auch zB diese & diese Phys.SE Beiträge.
Der entsprechende Hamiltonian Lagrangeian lautet
$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} L_{H} = & P \cdot \dot{X} - H \\ = & P \cdot \dot{X} - \frac{e}{2} (P^{2} + M^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} L_H~=~&p \cdot \dot{x} - H\cr ~=~&p \cdot \dot{x} - \frac{e}{2}(p^2+m^2).\end{align} \tag{5}$
Wenn wir das Momentum integrieren $p_{\mu}$ wieder (aber behalte den Lagrange-Multiplikator $e$ ) wird die Hamiltonsche Lagrangedichte (5) zur gesuchten Lagrangedichte (1). $\Box$

IV) Das Argument für die Zeichenkette ist ähnlich.

Beginnen Sie mit der NG-Lagrange-Dichte
$\begin{matrix} (6) & L_{N G} := - T_{0} \sqrt{L_{(1)}}, \end{matrix}$ ${\cal L}_{NG}~:=~-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \tag{6}$ $\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} L_{(1)} := & - det {(\partial_{a} X \cdot \partial_{β} X)}_{a β} \\ = & (\dot{X} \cdot X^{'})^{2} - {\dot{X}}^{2} (X^{'})^{2} \geq 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta}\cr ~=~&(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0. \end{align}\tag{7}$
Leiten Sie die Hamilton-Version des NG-Strings über eine (singuläre) Legendre-Transformation ab. Dies führt zu Impulsvariablen $P_{\mu}$ und zwei Einschränkungen mit entsprechenden zwei Lagrange-Multiplikatoren, $\lambda^0$ Und $\lambda^1$ , vgl. meine Phys.SE-Antwort hier . Die beiden Einschränkungen spiegeln die WS-Reparametrisierungsinvarianz der NG-Aktion wider (6).
Integrieren wir die Impulse heraus $P_{\mu}$ wieder (aber behalte die beiden Lagrange-Multiplikatoren, $\lambda^0$ Und $\lambda^1$ ) wird die Hamilton-Lagrange-Dichte für die NG-Saite
$\begin{matrix} (8) & L = T_{0} \frac{{(\dot{X} - λ^{0} X^{'})}^{2}}{2 λ^{1}} - \frac{T_{0} λ^{1}}{2} (X^{'})^{2}, \end{matrix}$ ${\cal L}~=~T_0\frac{\left(\dot{X}-\lambda^0 X^{\prime}\right)^2}{2\lambda^1} -\frac{T_0\lambda^1}{2}(X^{\prime})^2,\tag{8}$ vgl. meine Phys.SE-Antwort hier .
[Zur Kontrolle, wenn wir die beiden Lagrange-Multiplikatoren herausintegrieren, $\lambda^0$ Und $\lambda^1$ , mit der zusätzlichen Annahme, dass
$\begin{matrix} (9) & λ^{1} > 0 \end{matrix}$ $\lambda^1~>~0\tag{9}$ Um einen negativen Quadratwurzelzweig zu vermeiden, erhalten wir wenig überraschend die ursprüngliche NG-Lagrange-Dichte (6).]
Gl. (8) ist so weit wie unsere Vorwärtsableitung geht. Es kann als Analogon zu unserer Herleitung für das relativistische Punktteilchen in Abschnitt III angesehen werden.
Jetzt werden wir schummeln und von der Polyakov-Lagrange-Dichte rückwärts arbeiten

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} L_{P} = & - \frac{T_{0}}{2} \sqrt{- H} H^{a β} \partial_{a} X \cdot \partial_{β} X \\ = & \frac{T_{0}}{2} {\frac{{(H_{σ σ} \dot{X} - H_{τ σ} X^{'})}^{2}}{\sqrt{- H} H_{σ σ}} - \frac{\sqrt{- H}}{H_{σ σ}} (X^{'})^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_P~=~&-\frac{T_0}{2} \sqrt{-h} h^{\alpha\beta} \partial_{\alpha}X \cdot\partial_{\beta}X\cr ~=~&\frac{T_0}{2} \left\{\frac{\left(h_{\sigma\sigma}\dot{X}- h_{\tau\sigma}X^{\prime}\right)^2}{\sqrt{-h}h_{\sigma\sigma}} - \frac{ \sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}(X^{\prime})^2 \right\} .\end{align} \tag{10}$

Durch klassische Weyl-Symmetrie nur 2 der 3 Freiheitsgrade in der WS-Metrik $h_{\alpha\beta}$ Geben Sie die Polyakov-Lagrange-Dichte (10) ein. Wenn wir uns identifizieren $\begin{matrix} (11) & λ^{0} = \frac{H_{τ σ}}{H_{σ σ}} Und λ^{1} = \frac{\sqrt{- H}}{H_{σ σ}} > 0, \end{matrix}$ $\lambda^0~=~\frac{h_{\tau\sigma}}{h_{\sigma\sigma}}\quad\text{and} \quad\lambda^1~=~\frac{\sqrt{-h}}{h_{\sigma\sigma}}~>~0, \tag{11}$ dann wird die Lagrange-Funktion (8) zur Polyakov-Lagrange-Dichte (10). $\Box$

Obwohl mir Ihre Antwort gefällt und ich denke, dass der Dirac-Bergmann-Ansatz wirklich der richtige ist, befürchte ich, dass dies OP nicht zufrieden stellen wird, da sie eine Ableitung "ohne Tricks" fordern - keine Bewegungsgleichungen oder Lagrange-Multiplikatoren , nur ein direkter Satz von Gleichheiten" [Hervorhebung von mir].
Das Dirac-Bergmann-Rezept ist kein Trick. Es ist möglich, die beiden Lagrange-Multiplikatoren künstlich über ihren On-Shell-Wert einzuführen, aber dies würde der Herleitung keine zusätzliche Klärung oder weitere Natürlichkeit verleihen. Tatsächlich würde es die Ableitung nur gekünstelter aussehen lassen. Es ist natürlicher, sich auf die Lagrange-Multiplikatoren zu verlassen, die direkt durch das Dirac-Bergmann-Rezept vorgegeben sind.

bolbteppa · Answer 2

Eine Methode ist, das Gegebene zu beachten

S_{N G} = - T \int D τ D σ \sqrt{- H}

$S_{NG} = - T \int d \tau d \sigma \sqrt{- h}$ Wo

h = det (h_{a b})

$h = \det (h_{ab})$ ,

h_{a b} = \partial_{a} X^{μ} \partial_{b} X_{μ}

$h_{ab} = \partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}$ es ist Variation in Bezug auf

X^{μ}

$X^{\mu}$ ist teilweise wie folgt ausgearbeitet

\begin{aligned} δ S_{N G} & = - T δ \int D τ D σ \sqrt{- H} \\ = - T \int D τ D σ δ \sqrt{- H} \\ = - \frac{T}{2} \int D τ D σ \sqrt{- H} H^{A B} δ H_{A B} \\ = - \frac{T}{2} \int D τ D σ \sqrt{- H} H^{A B} δ (\partial_{A} X^{μ} \partial_{B} X_{μ}) \end{aligned}

$\begin{align} \delta S_{NG} &= - T \delta \int d \tau d \sigma \sqrt{-h} \\ &= - T \int d \tau d \sigma \delta \sqrt{-h} \\ &= - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} \delta h_{ab} \\ &= - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} \delta (\partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}) \end{align}$ aber die letzte Zeile ist das, was wir als erste Zeile erhalten würden, wenn wir die neue Aktion variieren würden

\begin{aligned} S_{P} = - \frac{T}{2} \int D τ D σ \sqrt{- H} H^{A B} (\partial_{A} X^{μ} \partial_{B} X_{μ}) \end{aligned}

$\begin{align} S_P = - \frac{T}{2} \int d \tau d \sigma \sqrt{-h}h^{ab} (\partial_a X^{\mu} \partial_b X_{\mu}) \end{align}$ gegenüber

X^{μ}

$X^{\mu}$ Wo

h_{a b}

$h_{ab}$ ist nur eine unabhängige Variable (Metrik).

Eine andere Methode ist in Abschnitt 3.4.1 von Townsends Streichernotizen unter Verwendung von Dirac-beschränkten Systemen in Übereinstimmung mit der anderen Antwort angegeben.

Ich sehe oft Bewegungsgleichungen für die NG-Aktion, die einen Materieterm enthalten, mit a $1/\sqrt{-h}$ Begriff vor dem äußersten $\partial_a$ . (zB ist die NG-Bewegungsgleichung $\frac{1}{\sqrt{-h}}\partial_a(\sqrt{-h}h^{ab}\partial_b X_\mu) + \text{matter terms} =0$ ). Ohne einen Materieterm scheint es, als könnten wir einfach den faktorisieren $1/\sqrt{-h}$ heraus, aber ich würde gerne besser verstehen, woher das kommt. Danke für jeden Einblick.

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