Berechnung der (auf der Schale) Wirkung eines freien Teilchens

Verwenden Sie die partielle Integration und die Tatsache, dass für ein freies Teilchen$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=0$. Außerdem weißt du, dass die Geschwindigkeit konstant ist, also kannst du auch den ersten Teil lösen.

Sie können auch eine Art Variablenänderung verwenden.$\int_a^b \dot{x}^2 dt = \int_a^b v^2 dt = v^2 \int_a^b dt = v^2({t_b}-{t_a})$wobei der letzte Teil die Tatsache verwendet, dass v für eine Linie konstant ist, um es aus dem Integral herauszuziehen. Das Ergebnis folgt.

Was frustrierend sein kann, ist, von der Idee auszugehen, dass wir die allgemeine Aktion für jeden verbindenden Pfad berechnen$x_a$Und$x_b$. Dann trifft man auf den unangenehmen Ausdruck$S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt =\frac{m}{2}\{[x \dot{x}]_{t_a}^{t_b}-\int_{t_a}^{t_b}x\ddot{x} dt\}$

Wir können jedoch immer noch so allgemeine Aktionen wie schreiben$S = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} \dot{x}^2 dt = \frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}+\frac{d^2x}{dt^2}|_{x=x_a} {\small(t-t_a)}+\frac{1}{2!}\frac{d^3x}{dt^3}|_{x=x_a}{\small(t-t_a)^2}+o(|{\small t}|^3)]^2 {\small dt}$

Für die klassische Trajektorie, die minimiert$S$, wir erhalten

$S_{\scriptsize\mbox{min}}=S_{\scriptsize\mbox{cl}}=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b} [\frac{dx}{dt}|_{x=x_a}]^2 dt$

woraus man ohne weiteres das gegebene Ergebnis erhält. Das ist also alles, um den Unterschied zwischen zu betonen$S$Und$S_{{\scriptsize\mbox{cl}}}$