Zeigen Sie, dass diese Wirkung unter einer Symmetrietransformation invariant ist

Fragestellung

Betrachten Sie den folgenden Lagrange-Operator für ein klassisches System:

$$\mathcal{L}(x,\dot{x})=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{\alpha}{x^2}$$ Zeigen Sie, dass die Wirkung unter den folgenden Symmetrietransformationen invariant ist: $$\begin{cases}t'=\frac{at+b}{ct+d}\\x'=\frac{1}{ct+d}x\end{cases}$$ Mit $\text{Det}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=1.$

Versuch einer Lösung

$$t'=\frac{at+b}{ct+d}\implies \text{d}t'=\frac{1}{(ct+d)^2}\text{d}t$$ $$x'=\frac{1}{ct+d}x\implies \text{d}x'=\frac{1}{ct+d}\text{d}x$$ Die Verwendung dieser beiden Beziehungen ergibt: $$\implies \frac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\dot{x}'=(ct+d)\dot{x}$$ So,

$$\begin{align}S'(x',\dot{x}')&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t'\mathcal{L}(x',\dot{x}')\\\\ &=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t'\bigg\{\frac{1}{2}m(\dot{x}')^2-\frac{\alpha}{x'^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\frac{1}{(ct+d)^2}\text{d}t\bigg\{\frac{1}{2}m(ct+d)^2\dot{x}^2-(ct+d)^2\frac{\alpha}{x^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t\bigg\{\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{\alpha}{x^2}\bigg\}\\\\&=\int^{t_2'}_{t_1'}\text{d}t~\mathcal{L}(x,\dot{x})\end{align}$$

Dies ist fast in der richtigen Form, abgesehen von den Zeitgrenzen im Integral. Ich übersehe wahrscheinlich etwas ganz Offensichtliches, aber ich kann gerade nicht daran denken, hoffentlich kann mich jemand darauf hinweisen.

Liegt es einfach daran, dass ich die integrierende Variable aus geändert habe$t'\rightarrow t$die Grenzen ändern sich auch entsprechend?