Annahmen reg. Kinetische Energie und potentielle Energie in der Lagrange-Formulierung

Ich wurde kürzlich in die Lagrange-Mechanik eingeführt. Mein früherer Kontakt mit der Lagrange-Mathematik bestand in der Optimierung eingeschränkter Funktionen mithilfe von Lagrange-Multiplikatoren.

Ich verstehe die Mathematik hinter den Euler-Lagrange-Gleichungen. Ich verstehe den Beweis hinter der Energieerhaltung unter Verwendung dieser Gleichungen unter der Annahme einer Zeittranslationsinvarianz. Ich glaube auch zu verstehen, dass Symmetrien immer zu einer Erhaltungsgröße führen. Da gibt es keine Herausforderungen.

Aber für mein ungeübtes Auge scheint es, als würden wir dabei einige Annahmen treffen, und ich habe einige Probleme zu verstehen, warum diese Annahmen wahr sind. Oder sind meine Annahmen vielleicht falsch (in diesem Fall verstehe ich die Mathematik doch nicht)?

1. Wir scheinen zu wissen, dass das Prinzip der stationären Aktion für das Universum gilt. Hier gibt es zum Beispiel eine ausgezeichnete Antwort darauf, warum das Prinzip der stationären Aktion wahr ist. Ich bin überzeugt.

2. Wir definieren die kinetische Energie des Systems als sein$T = \sum f(\mathcal{P}_n(\dot{q}))$Wo$\mathcal{P}_n$ist ein Polynom von gewissem Grad.

3. Wir definieren$V(q)$die potentielle Energie des Systems sein.

4. Wir nehmen an, dass das System zeittranslationsinvariant ist.

5. Wir definieren Lagrange als sein$L(\dot{q}, q) = T(\dot{q})-V(q)$.

Fragen:

1. Warum ist T nur eine Funktion von$\dot {q}$? Wie können wir das sicher wissen?

2. Warum ist V nur eine Funktion von$q$? Wie können wir das sicher wissen?

Ich versuche seit ein paar Tagen zu verstehen, warum diese Annahmen wahr sind, und ich ertappe mich dabei, mich im Kreis zu drehen. Kann mir jemand eine Intuition (oder Referenzen) dafür geben, warum diese Annahmen wahr sind?