Ableitung der Wirkung und der Lagrange für ein freies massives Punktteilchen in der Speziellen Relativitätstheorie

1. Ja, die Invarianz der Wirkung folgt aus der speziellen Relativitätstheorie – und die spezielle Relativitätstheorie hat (nicht nur) Recht, weil sie experimentell verifiziert ist. Aus der Bedingung lassen sich alle Bewegungsgleichungen ableiten$\delta S = 0$, ist die Aktion stationär (was normalerweise bedeutet, dass sie unter allen Trajektorien/Historien mit denselben Anfangs- und Endbedingungen den Mindestwert auf der zulässigen Trajektorie/Historie hat). Wenn$S$hing vom Inertialsystem ab, ebenso die Terme in den Gleichungen$\delta S =0$, und diese Bewegungsgesetze konnten nicht Lorentz-kovariant sein (beachten Sie, wie dieser Lorentz geschrieben wird; Lorenz existierte auch, aber es war ein anderer Physiker). Ganz allgemein sollte man nicht an „Ableitung der Wirkung“ denken. Wenn wir überhaupt mit der Handlung arbeiten, tun wir das, weil wir die Handlung als den grundlegendsten Ausdruck ansehen – und alles andere daraus ableiten . In diesem Zusammenhang definieren wir eine Lorentz-invariante Theorie ziemlich genau als eine Theorie, die durch eine Lorentz-invariante Aktion bestimmt wird.

2. Ihr Integral ist Lorentz-invariant, aber nicht translationsinvariant unter$x^\mu \to x^\mu + a^\mu$. Es ist also nicht Poincaré-invariant (die Poincaré-Symmetrie vereint die Lorentz-Transformationen und Raumzeit-Translationen) und aufgrund dieser Verletzung sagen wir auch, dass es nicht mit den Gesetzen der speziellen Relativitätstheorie übereinstimmt. Sie können auch andere Ausdrücke erstellen, z. B. ersetzen$x_\mu x^\mu$im Integral durch eine extrinsische Krümmungsinvariante der Weltlinie usw. Diese Terme könnten Poincaré-invariant gemacht werden. Die richtige Behauptung ist also, dass die richtige Länge der Weltlinie das einzige Poincaré-invariante Funktional ist, das nicht von höheren Ableitungen der Koordinaten abhängt$x^\mu(\tau)$.

In SR haben die Gleichungen in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Dies impliziert, dass die Wirkung eines freien Teilchens diejenige ist, die durch L&L gezeigt wird.

Nehmen wir uns der Einfachheit halber die richtige Zeit$s$des massiven Teilchens als Integrationsvariable in der Aktion, mit einem Lagrange gegeben durch$L=L(x^\mu,\dot{x}^\mu,s)$, wo$\dot{x}^\mu=dx^\mu/ds$. Das müssen wir beweisen$L=-a$(Konstante).

Der Lagrange-Formalismus impliziert dies, indem er die Koordinaten ändert$x^\mu \rightarrow x'^\mu$, die aus der Lagrangedichte erhaltenen Bewegungsgleichungen$L=L'(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$, betrachtet als neue Funktion der neuen Koordinaten, sind äquivalent zu den Bewegungsgleichungen (den Euler-Lagrange-Gleichungen) für die alten Koordinaten.

Im Fall einer Poincarè-Transformation von Koordinaten beschreiben die neuen Gleichungen die Bewegung in einem neuen Bezugssystem und SR erfordert, dass sie die gleiche Form wie die alten Gleichungen haben. Wie im Lagrange-Formalismus üblich (wie in L&Ls Mechanik erklärt), ist dies möglich, wenn$L'(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$unterscheidet sich von$L(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$durch die Ableitung einer Funktion der Koordinaten und der Eigenzeit,

In dieser Gleichung wird deutlich, dass im alten Bezugsrahmen$\dot{F}(x^\mu,s)=0$. Da die alten Trägheitskoordinaten nicht speziell sind, erfordert SR dies$\dot{F}'(x'^\mu,s)=0$im neuen (beliebigen) Inertialsystem. Daher,$L(x^\mu,\dot{x}^\mu,s)=L(x'^\mu,\dot{x}'^\mu,s)$, was bedeutet, dass die Lagrange-Funktion und die Aktion invariant sind.

Denn diese Gleichung gilt für jede konstante Raum-Zeit-Translation$x^\mu \rightarrow x'^\mu=x^\mu+a^\mu$,$L$hängt nicht davon ab$x^\mu$. Das Argument von L&L impliziert dies$L$hängt nicht davon ab$\dot{x}^\mu$(seit$\dot{x}_\mu\dot{x}^\mu=-1$ist der einzige Skalar, den man konstruieren kann). Endlich,$L$hängt nicht davon ab$s$weil die Zeit für ein freies Teilchen einheitlich ist. Deswegen,$L=-a$ist eine Konstante.

Beachten Sie jedoch, dass L & L dies in ihrem Buch zeigt$\dot{F}(x^\mu)$erscheint im Lagrange eines geladenen Teilchens in Abwesenheit des elektrischen Felds und des magnetischen Felds (ein freies Teilchen im klassischen Sinne),

wo das 4-Vektor-Potential$A_\mu$ist ein "reines Messgerät",

für einen Skalar$\chi$.

Tatsächlich führen Eichtransformationen ein$\dot{F}$in ihrer Lagrangefunktion des geladenen Teilchens, das mit dem EM-Feld wechselwirkt, ohne die Bewegungsgleichungen zu ändern.