Dirac-Lagrange-Dichte in gekrümmter Raumzeit

Ich versuche, diese Form der Dirac-Lagrange-Dichte in gekrümmter Raumzeit abzuleiten:

$$\mathcal{L}~=~\det\left(e\right)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\partial_{a}-m+\gamma^{a}\gamma^{5}B_{a}\Bigg)\Psi$$

ausgehend von diesem Formular:

$$\mathcal{L}~=~\sqrt{-g}\Bigg (\frac{i}{2} \bar{\Psi} \gamma^{a} \stackrel{\leftrightarrow}{D}_{a} \Psi-\bar{\Psi}m\Psi \Bigg)$$

Ich kann den ersten Term bekommen, aber im letzten Term bekomme ich einen Faktor von$\quad - \frac{1}{2} \quad$vorne raus, dh

$$\mathcal{L}~=~\det(e)\bar{\Psi}\Bigg (\frac{i}{2}\gamma^{a}\stackrel{\leftrightarrow}{\partial_{a}}-m-\frac{1}{2}B_{a}\gamma^{a}\gamma^{5}\Bigg)\Psi$$ Ich habe versucht, es auf verschiedene Arten abzuleiten, und komme immer auf den obigen Ausdruck. Das Problem ist, dass es in allen Artikeln, die ich zu diesem Thema gelesen habe, in der Form gegeben wird, wie sie oben auf dieser Seite dargestellt wird. Wenn es hilft, hier ist ein Link zu meiner vollständigen Ableitung: http://we.tl/mUgiw0BkMh

Wäre wirklich dankbar für jede Hilfe bei der Lösung dieses Problems.