Positive Frequenzlösungen in einer stationären Raumzeit

Question

Positive Frequenzlösungen in einer stationären Raumzeit

Physik
generelle Relativität
Quantenfeldtheorie
qft-in-der-gekrümmten-raumzeit

gj255

Ich studiere die Grundlagen der QFT in gekrümmter Raumzeit, und für den einfachsten Fall von echten Skalarfeldern können wir die hermitische Form von Klein-Gordon definieren

(F, G) = ich \int_{Σ} D^{3} X \sqrt{H} N^{μ} (\bar{F} \partial_{μ} G - G \partial_{μ} \bar{F})

$(f,g) = i \int_\Sigma \mathrm{d}^3x \sqrt{h} n^\mu ( \overline{f} \partial_\mu g - g \partial_\mu \overline{f})$ Mit

Σ

$\Sigma$ eine räumliche Hyperfläche,

n

$n$ seine Einheit normal und

h

$h$ die Determinante der räumlichen Metrik. In einer stationären Raumzeit nennen wir das eine Lösung

f

$f$ der Klein-Gordon-Gleichung ist positive Frequenz if für Killing Field

k

$k$ , wir haben das

L_{k} F = - ich ω F ω > 0

$\mathcal{L}_k f = - i \omega f \qquad \omega > 0$ Frage: Wie können wir beweisen, dass positive Frequenzlösungen eine positive Klein-Gordon-'Norm' haben – das heißt, $(f,f) > 0$ ?

Mir ist klar, dass, wenn die Raumzeit statisch ist oder die Metrik keine Querbegriffe zwischen Raum und Zeit hat, die Einheit normal ist $n^\mu$ ist proportional zum Killing-Feld $k^\mu$ und die Klein-Gordon-Norm ist positiv, da wir haben $n^\mu \partial_\mu \propto \mathcal{L}_k$ . Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, gibt es keine einfache Möglichkeit, eine Beziehung herzustellen $n$ Zu $k$ , und ich kann nicht sehen, wie ich weiter vorgehen soll.

Wenn Statizität tatsächlich eine Voraussetzung für diese Aussage ist, gibt es ein offensichtliches Gegenbeispiel? Das heißt, gibt es eine Lösung $f$ zur Klein-Gordon-Gleichung in einer stationären (aber nicht statischen) Raumzeit mit beiden $k^\mu \partial_\mu f = -i\omega f$ ( $\omega > 0$ ) Und $(f,f)<0$ ? Danke für die Hilfe.

AccidentalFourierTransform

könnte relevant sein: die hermitiale Form auf der Schale

(f, g)

$(f,g)$ ist unabhängig von

Σ

$\Sigma$ . Mit anderen Worten, z

f, g

$f,g$ Lösungen der KG-Gleichung haben Sie die Freiheit, beliebige Oberflächen zu wählen

Σ

$\Sigma$ darüber zu integrieren. Es scheint mir, dass diese Freiheit Ihnen erlaubt, zu wählen

n \propto k

$n\propto k$ unabhängig davon, ob die Metrik statisch ist oder nicht.

gj255

Danke für den Kommentar. Ich denke , dass es eine gewisse Einschränkung gibt

Σ

$\Sigma$ In der Tat. Ich glaube dem Beweis

L_{k}

$\mathcal{L}_k$ ist antihermitesch (was der Fall sein muss, um überhaupt von positiver Häufigkeit zu sprechen) in Bezug auf die KG-Form erfordert tatsächlich, dass das Killing-Feld Übersetzungen in der gleichen "Zeit" entspricht.

t

$t$ als

Σ

$\Sigma$ ist eine ebene Fläche von Ich stimme dann zu, dass die Oberfläche von egal welcher Ebene ist

t

$t$ wir wählen, ist belanglos, aber das hindert uns daran, frei zu wählen

Σ

$\Sigma$ so dass seine Normale proportional zu ist

k

$k$ .

Antworten (1)

Positive Frequenzlösungen in einer stationären Raumzeit

könnte relevant sein: die hermitiale Form auf der Schale $(f,g)$ ist unabhängig von $\Sigma$ . Mit anderen Worten, z $f,g$ Lösungen der KG-Gleichung haben Sie die Freiheit, beliebige Oberflächen zu wählen $\Sigma$ darüber zu integrieren. Es scheint mir, dass diese Freiheit Ihnen erlaubt, zu wählen $n\propto k$ unabhängig davon, ob die Metrik statisch ist oder nicht.
Danke für den Kommentar. Ich denke , dass es eine gewisse Einschränkung gibt $\Sigma$ In der Tat. Ich glaube dem Beweis $\mathcal{L}_k$ ist antihermitesch (was der Fall sein muss, um überhaupt von positiver Häufigkeit zu sprechen) in Bezug auf die KG-Form erfordert tatsächlich, dass das Killing-Feld Übersetzungen in der gleichen "Zeit" entspricht. $t$ als $\Sigma$ ist eine ebene Fläche von Ich stimme dann zu, dass die Oberfläche von egal welcher Ebene ist $t$ wir wählen, ist belanglos, aber das hindert uns daran, frei zu wählen $\Sigma$ so dass seine Normale proportional zu ist $k$ .

giuppep · Answer 1

Für eine stationäre Raumzeit können wir die Metrik umschreiben als

G = - a^{2} D T^{2} + H_{ich J} (D X^{ich} + β^{ich} D T) (D X^{J} + β^{J} D T)

$\begin{equation} g=-\alpha^{2}dt^{2}+h_{ij}( dx^{i}+\beta^{i}dt)( dx^{j}+\beta^{j}dt) \end{equation}$ Nun die Eins-Form normal dazu

Σ

$\Sigma$ werde lesen

n^{♭} = - α d t

$n^{\flat}=-\alpha dt$ und das entsprechende Vektorfeld

n^{♯} = \frac{1}{α} (k - β)

$n^{\sharp}=\frac{1}{\alpha}(k-\beta)$ , Wo

k

$k$ ist das stationäre Killing-Vektorfeld.

Die KG-Norm einer positiven Frequenzlösung $f$ Ist

(F, F) = 2 ω \int_{Σ} D^{3} X \frac{\sqrt{det H}}{a} | F |^{2} + ICH

$\begin{equation} (f,f)=2\omega \int_{\Sigma} d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} |f|^{2} + I \end{equation}$ Wo

ICH = - ich \int_{Σ} D^{3} X \frac{\sqrt{det H}}{a} (\bar{F} ⟨ β, D F ⟩ - F ⟨ β, D \bar{F} ⟩) .

$\begin{equation} I=-i \int_{\Sigma} d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} (\bar{f}\langle \beta,df\rangle - f \langle \beta, d\bar{f}\rangle ). \end{equation}$ Wir müssen jetzt I abschätzen. Beachte das seit

f

$f$ ist eine Lösung der KG-Gleichung, die wir haben

\begin{matrix} (1) & 0 = \int_{Σ} D^{3} X \sqrt{det H} [\bar{F} (◻ - M^{2}) F] a . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{intkg}\tag{1} 0=\int_{\Sigma} d^{3}x \sqrt{\det h}\;[\bar{f}(\square - m^{2})f]\alpha. \end{equation}$ Umschreiben

\begin{aligned} ◻ F & = \frac{1}{\sqrt{- det G}} \partial_{μ} (\sqrt{- det G} G^{μ v} \partial_{v} F) \\ = - \frac{1}{a^{2}} \partial_{T}^{2} F + \frac{1}{a^{2}} β^{ich} \partial_{ich} \partial_{T} F + \frac{1}{a \sqrt{det H}} \partial_{ich} (β^{ich} \frac{\sqrt{det H}}{a} \partial_{T} F) + \frac{1}{a \sqrt{det H}} \partial_{ich} (a \sqrt{det H} G^{ich J} \partial_{J} F) \end{aligned}

$\begin{align} \square f & = \frac{1}{\sqrt{-\det g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-\det g} g^{\mu\nu}\partial_{\nu} f ) \\ & = - \frac{1}{\alpha^{2}}\partial^{2}_{t} f + \frac{1}{\alpha^{2}}\beta^{i}\partial_{i}\partial_{t}f+\frac{1}{\alpha\sqrt{\det h}}\partial_{i}\left(\beta^{i}\frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} \partial_{t}f\right)+\frac{1}{\alpha\sqrt{\det h}}\partial_{i}\left(\alpha\sqrt{\det h}g^{ij}\partial_{j}f\right) \end{align}$ und integrieren

(1)

$\eqref{intkg}$ nach Teilen bekommen wir

\begin{aligned} 0 = \int D^{3} X \sqrt{det H} a [\frac{ω^{2}}{a^{2}} | F |^{2} - \frac{ich ω}{a^{2}} (\bar{F} ⟨ β, D F ⟩ - F ⟨ β, D \bar{F} ⟩) - G^{ich J} \partial_{ich} F \partial_{J} \bar{F} - M^{2} | F |^{2}] \end{aligned}

$\begin{align} 0=\int d^{3}x \sqrt{\det h} \alpha \left[ \frac{\omega^{2}}{\alpha^2}|f|^{2}-\frac{i\omega}{\alpha^{2}}(\bar{f}\langle \beta,df\rangle - f \langle \beta, d\bar{f}\rangle )-g^{ij}\partial_{i}f\partial_{j}\bar{f}-m^{2}|f|^{2}\right] \end{align}$ und somit

\begin{aligned} ICH = - ω \int \frac{det H}{a} | F |^{2} + \frac{1}{ω} \int \sqrt{det H} a (M^{2} | F |^{2} + G^{ich J} \partial_{ich} F \partial_{J} \bar{F}) . \end{aligned}

$\begin{align} I=-\omega \int \frac{\det h}{\alpha}|f|^{2}+ \frac{1}{\omega}\int \sqrt{\det h}\alpha \left(m^{2}|f|^2 + g^{ij}\partial_{i}f \partial_{j} \bar{f}\right). \end{align}$ Wir können dies in unserem ursprünglichen Ausdruck für ersetzen

(f, f)

$(f,f)$

\begin{aligned} (F, F) = ω \int D^{3} X \frac{\sqrt{det H}}{a} | F |^{2} + \frac{1}{ω} \int D^{3} X \sqrt{det H} a (M^{2} | F |^{2} + G^{ich J} \partial_{ich} F \partial_{J} \bar{F}) \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} (f,f)=\omega \int d^{3}x \frac{\sqrt{\det h}}{\alpha} |f|^{2}+\frac{1}{\omega}\int d^{3}x \sqrt{\det h} \alpha \left(m^{2} |f|^{2} + g^{ij} \partial_{i}f\partial_{j}\bar{f} \right) \ge 0 \end{align}$

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