Wie kann man explizit beweisen, dass wir durch Einbeziehung von Dirac-Fermionen in die Einstein-Hilbert-Wirkung die Torsion ungleich Null machen?

Es ist praktisch, die EH-Aktion in Bezug auf die Spinverbindung umzuschreiben. Von seiner Definition

$$\omega^{\mu}_{ab} = e^{\nu}_{a}\partial^{\mu}e_{\nu b} - \Gamma^{\mu}_{\lambda \sigma} e_{a}^{\lambda}e_{b}^{\sigma}$$ Sie können (indem Sie die Orthogonalitätsbeziehung für Tetraden verwenden) erhalten $$\tag 1 \Gamma^{\mu}_{\kappa \delta} = e^{b}_{\delta}\partial^{\mu}e_{\kappa b} - e^{a}_{\kappa}e^{b}_{\delta}\omega^{\mu}_{ab}.$$ Gl. $(1)$ermöglicht es, geometrische Größen wie Krümmung, Torsion in Tetraden und Spin-Verbindung umzuschreiben: $$R_{\mu \nu}^{ab} = e^{\kappa a}e_{\sigma}^{b}R^{\sigma}_{\ \kappa \mu \nu} = \partial_{\mu}\omega_{\nu}^{ab} - \partial_{\nu}\omega_{\mu}^{ab} + \omega_{\mu}^{ac}\omega^{\ b}_{c\nu } - \omega_{\nu}^{ac}\omega^{\ b}_{c\mu },$$ $$S^{a}_{\mu \nu} = \partial_{\mu}e^{a}_{\nu} - \partial_{\nu}e^{a}_{\mu} + \omega^{a}_{\ \mu b}e^{b}_{\nu} - \omega^{a}_{\ \nu b}e^{b}_{\mu}.$$ Dann kann die EH-Aktion umgeschrieben werden als $$\tag 2 S_{EH} = \int d^{4}x\sqrt{-g} e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab} = \int d^{4}x e e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab}, \quad e = det (e^{\mu}_{a}).$$ Lassen Sie uns die Dirac-Aktion hinzufügen $(2)$: $$\tag 3 S = S_{EH} + S_{D} = \int d^{4}x e e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}R_{\mu \nu}^{ab} + \kappa \int d^{4}x e \bar{\psi}\left(i\gamma^{\mu}e_{\mu}^{a}D_{a}(\omega ) - m \right)\psi .$$ Formal können wir überlegen $\omega , e$als unabhängige Größen. Dann Variation von $(3)$gegenüber $e$ergibt die Einstein-Gleichung (wobei der Freiheitsgrad der Tetrade verlassen wird), während die Variation in Bezug auf die Spinverbindung nach einer Reihe von Vereinfachungen so etwas wie ergibt $$S^{a}_{\mu \nu} = i\kappa \bar{\psi}\gamma^{a}\sigma_{\mu \nu}\psi .$$ Also wird ein formal fermionisches Feld eine Torsion erzeugen.