Wie erreicht die Allgemeine Relativitätstheorie das Ziel zu zeigen, dass die Naturgesetze in allen Bezugssystemen die gleiche Form haben?

Ohne Schwerkraft

• Inertialsysteme in kartesischen Koordinaten sind durch Lorentz-Transformationen miteinander verbunden. Ein "typischer" Bachelor-Kurs in spezieller Relativitätstheorie wird diese im Detail erklären. Wir interessieren uns für Tensoren, die sich einfach unter Lorentztransformationen transformieren. Die partielle Ableitung eines Lorentz-Tensors ist ein Tensor.
• Nicht-Trägheitsrahmen sind mathematisch gesehen im Wesentlichen dieselben wie Rahmen in nicht-kartesischen Koordinaten. Sie nehmen nämlich ein Inertialsystem und führen eine allgemeine Koordinatentransformation durch. Um diese allgemeinen Koordinatentransformationen richtig zu handhaben, ist es nützlich, mehrere geometrische Objekte einzuführen. Beispielsweise ist die partielle Ableitung eines Tensors kein Tensor mehr, im Wesentlichen, weil es bei einer Koordinatentransformation einen zusätzlichen Term gibt, bei dem die partielle Ableitung auf die Jacobi-Matrix der Transformation wirkt. Daher führen wir eine kovariante Ableitung ein, die die gewöhnliche partielle Ableitung so verallgemeinert, dass sie sich unter allgemeinen Koordinatentransformationen als Tensor transformiert. Obwohl es keine Krümmung gibt, bringt Sie die Entwicklung des hier benötigten mathematischen Apparats einen langen Weg zum Verständnis gekrümmter Raumzeiten. Insbesondere das Formulieren von beispielsweise Maxwell-Gleichungen unter Verwendung von kovarianten Ableitungen anstelle von partiellen Ableitungen bedeutet, dass ihre Form in jedem Koordinatensystem gilt, das nicht-inertiale Referenzrahmen enthält.

Mit Schwerkraft

• Die Raumzeit ist gekrümmt. Alle Maschinen, die entwickelt wurden, um nicht-inertiale Rahmen in flacher Raumzeit zu handhaben (wie kovariante Ableitungen), werden benötigt, ebenso wie zusätzliche Objekte (wie der Riemann-Krümmungstensor), die die räumliche Krümmung beschreiben. Man kann sich Krümmung so vorstellen, dass sie ein Hindernis dafür ist, Koordinaten zu finden, bei denen die Metrik überall in der Raumzeit die Form der Minkowski-Metrik annimmt.

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Ich würde sagen, was die allgemeine Relativitätstheorie von der speziellen Relativitätstheorie unterscheidet, ist das Vorhandensein von Gravitation oder Raum-Zeit-Krümmung. Daher würde ich nicht-träge Rahmen in Abwesenheit der Schwerkraft als Teil der speziellen Relativitätstheorie betrachten. Viele der mathematischen Werkzeuge, die Sie zur Beschreibung von Nicht-Trägheitssystemen benötigen, wie z. B. kovariante Ableitungen, werden jedoch auch zur Beschreibung gekrümmter Raumzeiten benötigt.

Um zu zeigen, dass die Gesetze unveränderlich sind, schreiben wir sie in Form von Objekten, die Tensoren genannt werden . Aber diese Gesetze sind oft Differentialgleichungen, und partielle Ableitungen bilden Tensoren im Allgemeinen nicht auf Tensoren ab. In der allgemeinen Relativitätstheorie (und ähnlichen Gravitationstheorien; GR ist konzeptionell die einfachste aus zwei Hauptgründen, die ich bald erwähnen werde), partielle Ableitungen$\partial_\mu$durch kovariante Ableitungen ersetzt werden $\nabla_\mu$die Tensoren auf Tensoren abbilden . Zum Beispiel die Elektromagnetik der speziellen Relativitätstheorie$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$reift zu$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$. Die linke Seite kann geschrieben werden als$\partial_\mu F^{\mu\nu}+\Gamma_{\mu\rho}^\mu F^{\rho\nu}+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}F^{\mu\rho}$; Die$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$sind Koeffizienten, die als Christoffel-Symbole bezeichnet werden und charakterisieren, wie die Raumzeitgeometrie die Tensor-zu-Tensor-Differenzierung definiert. Mit dieser Maschinerie werden die Gesetze unter allgemeinen Koordinatentransformationen unveränderlich .

Es lohnt sich, ausführlich zu erklären, wie wir dann die Schwerkraft erklären, denn es stellt sich heraus, dass GR nur eine Möglichkeit ist, wenn auch eine besonders einfache Möglichkeit, den obigen Trick gleichzeitig zu erreichen und die Geometrie diese fiktive Kraft erzeugen zu lassen.

Die Allgemeine Relativitätstheorie macht zwei Annahmen, die nicht unbedingt notwendig sind, damit dies funktioniert, aber sie sind die einfachsten Spezialfälle von allgemeineren Optionen. (Physiker tun das Einfachste, was mit den Beweisen vereinbar ist.) Eine davon ist, null Torsion zu haben , was bedeutet$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\Gamma_{\beta\alpha}^\gamma$. Diese Annahme reicht aus, um die Symbole zu bestimmen, nämlich.$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\tfrac12g^{\gamma\delta}(\partial_\alpha g_{\beta\delta}+\partial_\beta g_{\delta\alpha}-\partial_\delta g_{\alpha\beta})$. Die andere besteht darin, eine besonders einfache Form für den Beitrag der Schwerkraft zur physikalischen Aktion anzunehmen .

Im Gegensatz zu partiellen Ableitungen pendeln kovariante nicht. Ohne Torsion,$[\nabla_\alpha,\,\nabla_\beta]V_\gamma=R_{\alpha\beta\gamma\delta}V^\delta$definiert Koeffizienten$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$, bekannt als Riemann-Tensor . (Bei Torsion wäre auf der rechten Seite auch ein Vielfaches der kovarianten Ableitung des Vektors.) Die Kontraktion des ersten und dritten Index bildet den Ricci-Tensor $R_{\beta\delta}=R_{\alpha\beta\gamma\delta}g^{\alpha\gamma}$, und das Zusammenziehen der verbleibenden Indizes ergibt den Ricci-Skalar $R=R_{\alpha\beta\gamma\delta}g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}$. In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Ursache der Schwerkraft das Hinzufügen eines Vielfachen von$R$zur skalaren Lagrange-Dichte . Theoretisch könnte man etwas Komplizierteres hinzufügen .

Obwohl es nur eine Analogie ist, weil die Mathematik nicht die gleiche ist, können wir uns jemanden vorstellen, der sehr nahe am Nordpol lebt.

Wenn er 2 beliebige orthogonale Achsen nimmt, hat jede gerade Linie einen linearen Ausdruck. Die beliebige Achse kann gedreht werden, und die Koordinaten werden entsprechend geändert. Dies ist analog zur Minkowski-Raumzeit in SR und die Rotationsmatrix analog zu Lorentz-Transformationen.

Oder er kann Polarkoordinaten mit Mittelpunkt im Pol verwenden. Das ist analog zu einem beschleunigten Bezugssystem in SR, in dem Sinne, dass die Gleichung für eine Gerade mit der Variablen$r$Und$\theta$sind nichtlinear (wie es bei$t$Und$h$für ein Objekt, das in einen beschleunigten Rahmen fällt). Die Tatsache, dass wir von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten wechseln können, ist jedoch analog zum Wechsel von einem beschleunigten Koordinatensystem zum (Minkowskischen) Koordinatensystem des Objekts im freien Fall. Es ist keine Lorentz-Transformation, der metrische Tensor ändert sich, aber es ist trotzdem eine relativistische Koordinatenänderung.

Bis jetzt sind wir im SR-Bereich. Aber wenn unsere Bahnen lang genug sind und nicht mehr so ​​nah am Pol, muss die Erdkrümmung berücksichtigt werden. Den kartesischen Koordinaten am nächsten kommen die Projektionen von Karten auf eine ebene Fläche, wo Entfernungen und Flächen unvermeidlich verzerrt sind. Geodätische Linien auf dem Globus sind auf dieser Karte nicht unbedingt gerade. Dies ist analog zu einem Rahmen in einem Objekt im freien Fall, aber weit von der Erdoberfläche entfernt. Andere Objekte im freien Fall haben aus seiner Perspektive nicht die gleiche Geschwindigkeit, weil sich die Erdbeschleunigung mit der Höhe ändert. Trotzdem ist es möglich, Rahmen und Koordinaten nach dem Relativitätsprinzip zu ändern. Der Unterschied zu SR besteht darin, dass keiner von ihnen Minkowskiian ist.

Einfach ausgedrückt müssen Sie die Mathematik der Allgemeinen Relativitätstheorie in Form von geometrischen Größen ausdrücken, die ohne Bezugnahme auf ein Koordinatensystem definiert sind (oder zumindest definiert werden können).

Nehmen wir zum Beispiel das Newtonsche Gravitationsgesetz. Sie können es entweder als schreiben

$$m\ddot{x} = -G\frac{mM}{r^3}x$$ $$m\ddot{y} = -G\frac{mM}{r^3}y$$ $$m\ddot{z} = -G\frac{mM}{r^3}z$$ oder in geometrischer Sprache $$m\ddot{\vec{r}} = -G\frac{mM}{r^3}\vec{r}.$$ Die letztere Formulierung hat den Vorteil, koordinatenunabhängig zu sein, da der Vektor$\vec{r}$ist ein gut definiertes Objekt, auch wenn wir überhaupt keine Koordinaten haben. So geschrieben behält das Gesetz trivialerweise seine Form unter jeder Koordinatentransformation.

Dasselbe passiert in der Allgemeinen Relativitätstheorie, nur verwenden wir etwas kompliziertere Objekte als Vektoren, wie Tensoren, Formen und so weiter.

Aber die Sache ist die, dass man fast immer jedes Gesetz in geometrischer Sprache ausdrücken kann, also ist es streng genommen bedeutungslos zu zeigen, dass Naturgesetze ihre Form unter Koordinatentransformation behalten.

Stellen Sie sich das Gravitationsgesetz in der Form vor

$$m\ddot{x} = -G\frac{mM}{r^3}x$$ $$m\ddot{y} = -G\frac{mM}{r^3}$$ $$m\ddot{z} = -G\frac{mM}{r^3}.$$ Dies mag auf den ersten Blick wie ein koordinationsabhängiges Gesetz erscheinen. Aber Sie könnten es in geometrischer Sprache umschreiben als $$m\ddot{\vec{r}} = -G\frac{mM}{r^3}\left[\left(\vec{r}\cdot \vec{n}_x\right)\vec{n}_x+\vec{n}_y+\vec{n}_z\right],$$ Wo$\vec{n}_x,\vec{n}_y,\vec{n}_z$sind Einheitsvektoren in einigen Vorzugsrichtungen. Dies wird abstrakt ohne jeglichen Bezug auf ein Koordinatensystem definiert, und somit ist die Form des Gesetzes in allen Koordinatensystemen gleich. Wir müssen jedoch spezielle Richtungen in unseren Raum einführen.

Die wahre Bedeutung der Fähigkeit, Gesetze in koordinatenunabhängiger Form schreiben zu können, besteht also darin, in allen Strukturen, von denen angenommen wird, dass sie sich in Ihrem Raum (oder Ihrer Raumzeit) befinden, explizit zu sein. Dies erleichtert die Entscheidung, ob das von Ihnen erdachte Gesetz sinnvoll ist oder nicht, indem Sie einfach prüfen, ob die erforderlichen Strukturen angemessen sind. Ohne die koordinatenfreie Form könnten Sie eine von Ihnen eingeführte Struktur übersehen, die physikalisch nicht gerechtfertigt ist und dass eine andere Forschungsrichtung vorzuziehen ist.

Insbesondere möchte man keine Vorzugsrichtungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie, also sollte das Gesetz nicht von irgendwelchen vordefinierten Vektoren zur Raumzeit abhängen. Dies reduziert die Anzahl der mathematischen Objekte, die Sie verwenden können, um Ihre Feldgleichungen aufzuschreiben.