Mein Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie

Mein hintergrund:

In der High School habe ich AP Physik C Mechanik und Elektrizität und Magnetismus abgeschlossen. In meinem ersten Studienjahr absolvierte ich einen Kurs über Newtonsche Mechanik und einen Kurs über spezielle Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, die beide ungefähr den Abschnitten zu diesen Themen in den Feynman Lectures on Physics folgten.

Die Frage:

In meiner Freizeit fange ich an, Tensoranalyse und Allgemeine Relativitätstheorie zu lernen. Ich wollte erklären, was mein derzeitiges Verständnis von GR ist, und fragte mich, ob das, was ich bisher darüber verstehe, verifiziert werden könnte, und wenn es nicht korrekt ist, könnten die Probleme damit erklärt werden.

Mein aktuelles Verständnis:

  1. Objekte folgen der Geodäte in der Raumzeit, was die gesamte Raumzeitentfernung (Eigenzeit) entlang dieser Geodäte extrem macht. Diese Geodäten können durch die geodätische Gleichung gefunden werden, wenn Sie den metrischen Tensor kennen.
  2. Der Energie-Impuls-Tensor misst, wie viel Energiedichte/-fluss, Impulsdichte/-fluss in einem bestimmten Bereich der Raumzeit ist.
  3. Der Energie-Impuls-Tensor bestimmt durch die Einstein-Feldgleichung, was der metrische Tensor ist.
  4. Wenn der Energie-Impuls-Tensor bekannt ist, kann die Einstein-Feldgleichung verwendet werden, um nach dem metrischen Tensor zu lösen (d. h. die Schwarzschild-Metrik ist die Lösung für den metrischen Tensor, wenn der Energie-Impuls-Tensor der eines kugelförmigen Sterns oder Schwarzen Lochs ist). . Dann kann die geodätische Gleichung verwendet werden, um die Bahn eines beliebigen Objekts in der Raumzeit zu berechnen.

Zusammenfassend bewirkt die an einem Punkt in der Raumzeit vorhandene Energie / Masse, dass sich die Raumzeit um sie herum krümmt, und diese Krümmung beeinflusst die Bewegung von Objekten, die sich auf dem „kürzesten Weg“ durch die Raumzeit bewegen.

Weitere Fragen:

  1. Ändert sich der Energie-Impuls-Tensor genauso wie der metrische Tensor mit den Raumzeit-Koordinaten und wird er durch die Verteilung von Energie und Impuls über die Raumzeit bestimmt (dh wenn irgendwo ein massiver Körper existiert)?
  2. Wenn dem so ist, beeinflusst der Wert des Energie-Impuls-Tensors an einem Punkt in der Raumzeit die Krümmung der Raumzeit nur an diesem bestimmten Punkt oder beeinflusst er auch die Krümmung der umgebenden Punkte in der Raumzeit (d.h. verursacht die Sonne die Raumzeit? Kurve in einem großen Bereich um sie herum oder nur an den Punkten in der Raumzeit, an denen die Sonne existiert)?

Antworten (3)

Das meiste, was du gesagt hast, ist richtig.

Wenn der Energie-Impuls-Tensor bekannt ist, können die Einstein-Feldgleichungen verwendet werden, um nach dem metrischen Tensor zu lösen

Das ist falsch. Angenommen, der Energie-Impuls-Tensor ist null. Es gibt noch viele mögliche Metriken, darunter den Minkowski-Raum, Versionen des Minkowski-Raums mit nicht standardmäßigen Topologien, Raumzeiten, die Gravitationswellen enthalten, und Raumzeiten von Schwarzen Löchern.

die Schwarzschild-Metrik ist die Lösung für den metrischen Tensor, wenn der Energie-Impuls-Tensor der eines kugelförmigen Sterns oder eines schwarzen Lochs ist

Der Energie-Impuls-Tensor der Schwarzschild-Metrik ist überall Null. Die Masse des Schwarzen Lochs ist schwer zu bestimmen. Sie können sich vorstellen, dass es sich um die Singularität handelt, aber die Singularität ist eine raumähnliche Oberfläche in der Zukunft und nicht Teil der Raumzeit-Mannigfaltigkeit. Oder Sie können sich vorstellen, dass sich die Masse in der Raumzeit befindet, aber nicht lokalisiert ist, aber dann wird sie nicht vom Energie-Impuls-Tensor gemessen.

Ändert sich der Energie-Impuls-Tensor genauso wie der metrische Tensor mit den Raumzeit-Koordinaten und wird er durch die Verteilung von Energie und Impuls über die Raumzeit bestimmt (dh wenn irgendwo ein massiver Körper existiert)?

Der Energie-Impuls-Tensor variiert von Punkt zu Punkt. Sein Wert an einem Punkt beschreibt nur die Energie- und Impulsdichte an diesem nicht weit entfernten Punkt.

Wenn dem so ist, beeinflusst der Wert des Energie-Impuls-Tensors an einem Punkt in der Raumzeit die Krümmung der Raumzeit nur an diesem bestimmten Punkt oder beeinflusst er auch die Krümmung der umgebenden Punkte in der Raumzeit (d.h. verursacht die Sonne die Raumzeit? Kurve in einem großen Bereich um sie herum oder nur an den Punkten in der Raumzeit, an denen die Sonne existiert)?

Dies hängt davon ab, was Sie unter "Einfluss" und "Krümmung" verstehen. Es gibt eine Krümmung, die nicht vom Einstein-Tensor gemessen wird, wie die Krümmung einer Gravitationswelle. Der direkte Einfluss der Spannungsenergie liegt nur auf dem vom Einstein-Tensor gemessenen Teil der lokalen Krümmung.

Das ist dem Elektromagnetismus eigentlich ziemlich ähnlich. Die Divergenz des elektrischen Feldes wird lokal durch die Ladungsdichte bestimmt, aber elektrische Felder breiten sich aus.

Toll, dass Sie solche Fragen formulieren. Das sind alles gute, natürliche Fragen, die man sich als Anfänger bei GR stellen sollte. Viel Glück!

Einige Folgefragen: So viele mögliche Metriken können die Einstein-Feldgleichungen für einen gegebenen Spannungs-Energie-Tensor lösen? Gilt die Schwarzschild-Metrik nur für ein Schwarzes Loch oder ist sie auch die Metrik, die zur Lösung der Flugbahn eines Planeten verwendet wird, der die Sonne umkreist? Ich denke, das Problem ist, dass ich an die Pop-Science-Demo von GR denke, wo ein Ball auf ein Trampolin (Raumzeit) gelegt wird, das gekrümmt wird und Objekte dazu bringt, sich anders um ihn herum zu bewegen. Ich weiß, dass dies wahrscheinlich eine schlechte Art ist, darüber nachzudenken, aber beeinflusst die Masse an einem Punkt die Raumzeit ähnlich wie diese?
@mihirb die Schwarzchild-Metrik gilt für kugelsymmetrische Objekte. Also, ja, es kann verwendet werden, um die Wirkung der Sonne auf die Raumzeit zu lösen. Ein Schwarzes Loch ist nur ein Sonderfall, der entsteht, wenn ein Parameter in der Metrik auf 0 geht. Es wurde eigentlich als Fehler entdeckt, aber jetzt ist die Schwarzschild-Metrik für das Schwarze Loch bekannt :)
@PNS Danke! Kennen Sie eine bessere Denkweise über die Wirkung der Sonne auf die Raumzeit als die verwendete Trampolin-Analogie, die eindeutig sehr falsch und irreführend ist? Ich frage mich, wie weit von der Sonne entfernt die Krümmung der Raumzeit aufgrund der Masse / Energie der Sonne beeinflusst wird, da dies eindeutig die Raumzeit in der Nähe der Erde beeinflussen muss, damit die Erde ihre Bewegung ändert. Bedeutet dies, dass der Energie-Impuls-Tensor die Raumzeitkrümmung in einem Bereich beeinflusst, der nicht lokal dazu ist, durch einen Mechanismus wie Wellen durch die Raumzeit?
@mihirb Ich denke, Sie werden diese Antwort von John Rennie und ihre Links nützlich finden. John spricht hier kurz über das Flussmodell , das eine überlegene Analogie zur Trampolin-Analogie ist.

Wenn der Energie-Impuls-Tensor bekannt ist, können die Einstein-Feldgleichungen verwendet werden, um nach dem metrischen Tensor zu lösen (d. h. die Schwarzschild-Metrik ist die Lösung für den metrischen Tensor, wenn der Energie-Impuls-Tensor der eines kugelförmigen Sterns oder Schwarzen Lochs ist). .

Der metrische Tensor hängt auch von den Symmetrien ab. Zum Beispiel: Wenn der Energie-Impuls-Tensor in einem Bereich außerhalb einer sphärischen Masse Null ist und diese Masse nicht rotiert, können wir sagen, dass eine sphärische Symmetrie vorliegt und das Feld nur eine Funktion von ist R . Nachdem wir alle Komponenten des Ricci-Tensors berechnet haben, kommen wir zu Differentialgleichungen, die zur Schwartzschild-Metrik führen.

Bei diesem Ansatz verwenden wir keine Informationen über Masse- oder Energiewerte oder Dichten. Es zwingt die Gleichung, die Newtonsche Gravitation für schwache Felder, die das Produkt bringt, anzupassen G M zur Metrik.

Dreht sich diese Masse aber, gilt die Kugelsymmetrie nicht mehr und die Metrik ist anders.

Was ist, wenn wir etwas völlig Neues lösen, ohne die Newtonsche Grenze zu kennen? Angesichts des Energie-Impuls-Tensors im Raum und der Symmetrien können die Einstein-Feldgleichungen also eindeutig für den metrischen Tensor gelöst werden? Und sobald der metrische Tensor bekannt ist, kann die geodätische Gleichung verwendet werden, um die Flugbahn eines Objekts in der Raumzeit zu finden? Ich versuche nur, die genauen Schritte herauszufinden, wie GR verwendet werden würde, um ein allgemeines Problem zu lösen. Zum Beispiel von einer Masse-/Energieverteilung in einem Bereich der Raumzeit zur Lösung der Flugbahn eines Objekts in dieser Raumzeit.
Im Falle eines Null-Energie-Impuls-Tensors und ohne die erwähnten Symmetrieüberlegungen gibt es die Lösung von Gravitationswellen. Das ist völlig neu, in der Newtonschen Theorie nicht vorhanden.

Zunächst benötigen Sie Randbedingungen sowie den Energie-Impuls-Tensor, um eine Lösung für die Einstein-Gleichung für die Gravitation zu bestimmen.

Als Antwort auf Q1 sind Tensoren, einschließlich des Energie-Impuls-Tensors und des metrischen Tensors, koordinatenunabhängig . In der Praxis erfordert die Berechnung eine Auswahl von Koordinaten. Es ist die Darstellung des Tensors in gegebenen Koordinaten, die variiert, nicht der Tensor selbst.

Als Antwort auf Q2, Einsteins Gleichung

G A B = 8 π G T A B + Λ G A B

besagt, dass Einstein-Krümmung G A B wird an einem Punkt durch den Energie-Impuls-Tensor (und die kosmologische Konstante) angegeben. Der Riemann-Krümmungstensor wird nicht angegeben R B C D A . Der Riemann-Krümmungstensor kann aus der Lösung der gegebenen Einstein-Gleichung gefunden werden T A B samt Randbedingungen. IOW bewirkt die Sonne tatsächlich, dass sich die Raumzeit in einem großen Bereich um sie herum krümmt.

Ich habe einen Zweifel: Ist das die kontravariante Form der EFEs? Ich wusste nicht, dass das möglich ist!
@PNS, Indizes können nach Belieben erhöht und gesenkt werden (solange dies konsistent erfolgt).
Was würden diese Gleichungen physikalisch bedeuten? Ich meine, gibt es einen merklichen Unterschied zwischen diesen und der kovarianten Version?
@PNS, es ist dieselbe Gleichung mit den angehobenen Indizes und bedeutet dasselbe.
OK. Danke für das Zusatzwissen!
Ich verstehe. Die Randbedingungen, Symmetrien und der Energie-Impuls-Tensor ergeben also alle zusammen eine eindeutige Lösung für die Metrik (bis auf Koordinatenänderungen)? Bedeutet dies auch, dass der Energie-Impuls-Tensor (in Kombination mit den Feldgleichungen) Ihnen nur den Einstein-Krümmungstensor und nicht den Riemann-Krümmungstensor liefert, der nach dem Lösen der Einstein-Gleichungen gefunden werden müsste? Und dann sagt Ihnen der Riemann-Krümmungstensor, wie die Raumzeitkrümmung tatsächlich aussieht?
Das ist ziemlich richtig, aber der Riemann-Krümmungstensor wird nur wirklich verwendet, um Ricci zu definieren. Es ist eigentlich die Metrik, die Ihnen sagt, wie die Raumzeit "aussieht" (der Riemann-Krümmungstensor wird durch die Metrik bestimmt, aber es ist wahrscheinlich zu kompliziert, um Ihnen viel zu sagen). Was Sie tatsächlich tun, ist die Raumzeit zu kartieren (normalerweise auf einer flachen Karte), dann sagt Ihnen die Metrik die Skalierungsverzerrungen an jedem Teil der Karte (vgl. eine Karte der Erdoberfläche). Wie bei der Kartierung der Erde sind viele solcher Karten möglich, aber sie beschreiben alle dieselbe einzigartige Lösung.
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