Wie kann Geschwindigkeit ein Tensor sein?

Die Dreier-Geschwindigkeit ist kein Tensor – das heißt die Vierer-Geschwindigkeit : Dies ist ein Vierer-Vektor, dessen räumliche Komponenten die Dreier-Geschwindigkeit des Teilchens sind (mit Zeiten, die in der Eigenzeit des Teilchens gemessen werden), aber welche hat auch eine nullte (zeitliche) Komponente

Dies bedeutet, dass die Vierergeschwindigkeit jedes Partikels immer ungleich Null ist: Sie können die räumlichen Komponenten immer auf Null setzen, indem Sie in das Ruhesystem des Partikels transformieren, aber wenn Sie dies tun, ist dies die zeitliche Komponente

Geschwindigkeit sollte kein Tensor sein

Warum nicht? 4-Geschwindigkeit ist ein Tensor: a$1 \choose 0$Tensor. Es ist der Tangentenvektor an die Weltlinie eines materiellen Teilchens, parametrisiert durch die Eigenzeit. Seine Komponenten gehorchen einer Identität:

(Ich bitte um Verzeihung: Hier gibt es zwei Zeichenkonventionen. Ich habe die verwendet, die mir besser gefällt, bin mir aber nicht sicher, ob es die ist, an die Sie gewöhnt sind.)

Beachten Sie auch, dass Sie in GR weitgehend frei in der Wahl der Koordinaten sind (vorbehaltlich einiger Einschränkungen, auf die ich nicht näher eingehen werde). Im Allgemeinen sollten Sie nicht erwarten, dass sich Koordinaten selbst als Komponenten eines 4-Vektors verhalten. So seltsam es auch scheinen mag, es ist (im Allgemeinen) nicht erlaubt, einer der Koordinaten den Charakter einer Zeit und den anderen drei den einer Raumkoordinate zuzuordnen.

Mit anderen Worten, eine Koordinatenlinie (z$x^1=\rm const.$,$x^2=\rm const.$,$x^3=\rm const.$) muss nicht zwangsläufig einen zeitartigen Tangentenvektor haben und die anderen drei raumartigen. Alles, was erforderlich ist, ist, dass die vier Vektoren unabhängig sind .

Mit orthogonalen Koordinaten ist es einfacher : dann hat der metrische Tensor$\ne0$nur die diagonalen Komponenten, und in diesem Fall ist zwar eine der Koordinatenlinien zeitartig und die restlichen drei raumartig. In vielen wichtigen Fällen ist eine solche Koordinatenwahl möglich, aber nicht immer. Ein Gegenbeispiel ist Kerr (rotierendes, ungeladenes) Schwarzes Loch.

In deiner Frage fragst du "wie kann die$\mu$-te Komponente von$\frac{d x^{\mu}}{d \tau}$ein Tensor sein?"

Einfach gesagt, es ist kein Tensor. Das Ding, das eigentlich der Tensor ist, ist die Vierergeschwindigkeit$v$. Die Zahlen$\frac{d v^{\mu}}{d \tau}$sind die Komponenten dieses Tensors in einem bestimmten Koordinatensystem$x^{\mu}$. Dies kann kartesisch, sphärisch usw. sein.

Sie haben Recht, wenn Sie eine Gleichung haben, die die Komponenten eines Tensors gleich Null setzt, dh

dann sind diese Komponenten in jedem Koordinatensystem Null. Für die Vierergeschwindigkeit gibt es jedoch keine solche wahre Gleichung. Du kannst nicht schreiben$dx^{\mu}/d\tau = 0$, denn selbst wenn das Objekt in Ruhe ist (dh es hat null 3-Geschwindigkeit$\vec{v}$), werden die vier Geschwindigkeiten sein

(Dies ist keine typische Notation, normalerweise sagen die Leute würde$v^\mu = (c,0,0,0)$, aber der Übersichtlichkeit halber schreibe ich es als Aussage für jeden Wert von$\mu$). Dies liegt daran, dass die vier Geschwindigkeiten in kartesischen Koordinaten im Allgemeinen so aussehen:

mit$\gamma = \left(\sqrt{1-|\vec{v}|^2/c^2}\right)^{-1}$der Lorentzfaktor und$v_x, v_y, v_z$die üblichen Komponenten der 3-Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten.

Daher kann die Vierergeschwindigkeit niemals ganz Null sein.