Typ/Wertigkeit des Spannungstensors

Es gibt eine Konstruktion auf endlichdimensionalen, realen inneren Produkträumen in Bezug auf Tensoren des Ranges 2 und lineare Operatoren, die meiner Meinung nach Ihre Frage beantwortet. Die Konstruktion zeigt im Wesentlichen, wie man einen Tensor zweiter Stufe aus einem linearen Operator erhält. Seit$\mathbb R^3$mit dem Standard-Innenprodukt ist ein echter Innenproduktraum, und da die allgemeine Konstruktion nicht so schwer ist, können wir genauso gut allgemeiner sein.

Konstruktion des inneren Produktraums.

Sei ein endlichdimensionaler realer innerer Produktraum$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$gegeben sein, dann behaupten wir, dass es eine Möglichkeit gibt, einen Typtensor zu assoziieren$(0,2)$zu jeder linearen Transformation weiter$V$. Außerdem, wenn wir lassen$T^k_l(V)$bezeichnen den Vektorraum aller Tensoren des Typs$(k,l)$An$V$, dann hat man folgende Isomorphismen:

$$\begin{align} T^2_0(V) \cong T^1_1(V) \cong T^0_2(V) \end{align}$$ Tatsächlich entsprechen die hier geschriebenen Isomorphismen in der Indexnotation nur entsprechend ansteigenden und absenkenden Indizes. Wenn wir diese Beobachtungen kombinieren, sehen wir, dass jeder lineare Operator an $V$führt zu drei Tensoren von Typen $(2,0)$, $(1,1)$, Und $(0,2)$, und sie sind alle im Wesentlichen dasselbe Objekt. Hier ist das Wesentliche, wie Sie einen Typ-Tensor zuordnen $(0,2)$zu einem linearen Operator. Für jeden linearen Operator $L$An $V$, können wir eine Zuordnung definieren $T:V\times V\to \mathbb R$folgendermaßen: $$\begin{align} T_L(v,w) = \langle v,L(w)\rangle \end{align}$$ Das behaupte ich $T$ist ein Typ $(0,2)$Tensor. Daran erinnern, dass ein Typ $(k,l)$Tensor $S$ist eine multilineare Funktion $S:(V^*)^k\times V^l\to\mathbb R$. Es genügt also, die Funktion zu zeigen $T_L$oben definiert ist bilinear. Die Linearität in ihrem ersten Argument folgt unmittelbar aus der Linearität in dem ersten Argument des Skalarprodukts, während die Linearität in ihrem zweiten Argument aus der Linearität in dem zweiten Argument des Skalarprodukts kombiniert mit der Linearität von folgt $L$.

Um zu sehen, dass dies mit der Indexnotation übereinstimmt, die wir als Physiker oft verwenden, let$\{e_1,e_2,\dots, e_n\}$bezeichnen eine orthonormale Basis für$V$, dann die Komponenten des Tensors$T_L$Sind

$$\begin{align} (T_L)_{ij} = T_L(e_i, e_j) = \langle e_i,T(e_j)\rangle = \langle e_i,L_{kj}e_k\rangle = L_{kj}\delta_{ik} = L_{ij} \end{align}$$ Wir sehen, dass die Komponenten des von uns definierten Tensors genau denen der linearen Transformation entsprechen.

Kontakt mit Ihrer Notation.

Wenn wir den linearen Operator, den Sie als Spannungstensor bezeichnen, mit dem Buchstaben bezeichnen$L$, und wenn wir die entsprechende bilineare Abbildung definieren$T_L$, wie oben, dann verwenden Sie Ihre Notation für die Vektoren, die Gleichung, die ich zum Definieren verwendet habe$T_L$würde wie folgt geschrieben werden:

$$\begin{align} T_L(\mathbf m, \mathbf n) = \mathbf m^t L(\mathbf n) \end{align}$$ Die rechte Seite ist die gleiche wie $\langle \mathbf m, L(\mathbf n)\rangle$da das Standard-Innenprodukt an $\mathbb R^3$wird einfach durch gegeben $$\begin{align} \langle \mathbf v, \mathbf w\rangle = \mathbf v^t\mathbf w \end{align}$$ Beachten Sie übrigens angesichts dieser Tatsache, dass die Transposition jedem Vektor in effektiv einen dualen Vektor zuordnet $\mathbb R^3$.