Gleichgewicht für ein Seil, das in einer Schwarzschild-Raumzeit hängt

Update: Trimok und MBN haben mir geholfen, die meisten meiner Verwirrungen zu lösen. Es gibt jedoch noch einen zusätzlichen Begriff − ( 2 / R ) T im Endergebnis. Brown schreibt diesen Begriff nicht, und er scheint physikalisch falsch zu sein.

Update Nr. 2: Mögliche Lösung des verbleibenden Problems. Siehe Kommentar zur Antwort von MBN.

Angenommen, wir haben ein Seil, das statisch in einer Schwarzschild-Raumzeit hängt. Es hat eine konstante Masse pro Längeneinheit μ , und wir wollen die unterschiedliche Spannung finden T . Brown 2012 behandelt dies etwas allgemeiner, was ich jedoch nicht verstehen kann. Wenn ich Browns Gleichungen (3)-(5) rekapituliere und sie auf diese Situation spezialisiere, habe ich Schwarzschild-Koordinaten ( T , R , θ , ϕ ) , mit Unterschrift − + + + , die Metrik

D S 2 = − F 2 D T 2 + F − 2 D R 2 + . . . ,  Wo F = ( 1 − 2 M / R ) 1 / 2

und der Spannungs-Energie-Tensor

T v κ = ( 4 π R 2 ) − 1 diag ⁡ ( − μ , − T , 0 , 0 ) .

Er sagt, die Gleichgewichtsgleichung lautet:

∇ κ T R κ = 0

Er sagt dann, dass, wenn Sie die Mathematik aufdrehen, die Gleichgewichtsgleichung etwas wird, das in meinem speziellen Fall äquivalent ist

T ' + ( F ' / F ) ( T − μ ) = 0 ,

wobei die Primzahlen Ableitungen in Bezug auf sind R . Dies ist sinnvoll, weil in der flachen Raumzeit F ' = 0 , Und T ist eine Konstante. Die Newtonsche Grenze macht auch Sinn, weil F ' ist das Gravitationsfeld, und T − μ → − μ .

Es gibt mindestens zwei Dinge, die ich hier nicht verstehe.

Erstens, ist seine Gleichgewichtsgleichung nicht einfach eine Aussage über die Erhaltung des Energie-Impulses, die unabhängig davon gelten würde, ob sich das Seil im Gleichgewicht befindet?

Zweitens verstehe ich nicht, wie er die endgültige Differentialgleichung für erhält T . Da der obere-untere Index-Spannungsenergietensor diagonal ist, ist der einzige Term in der Gleichgewichtsgleichung ∇ R T R R = 0 , was bedeutet μ kann nicht hereinkommen. Auch wenn ich die kovariante Ableitung in Form der partiellen Ableitung und der Christoffel-Symbole aufschreibe (das relevante ist Γ R R R = − M / R ( R − 2 M ) ), heben sich die beiden Christoffel-Symbol-Terme auf, also bekomme ich

∇ R T R R = ∂ R T R R + Γ R R R T R R − Γ R R R T R R ,

was nicht beinhaltet F und ist offensichtlich falsch, wenn ich es gleich 0 setze.

Was verstehe ich hier falsch?

Verweise

Brown, „Tensile Strength and the Mining of Black Holes“, http://arxiv.org/abs/1207.3342

Brown verwendet kein Schwarzschild-Schwarzes Loch, sondern eine allgemeine statische kugelsymmetrische Raumzeit ( 3 ) , die als Quelle eine allgemeine statische kugelsymmetrische Materieverteilung hat, die durch den Spannungs-Energie-Tensor gegeben ist ( 4 ) . So χ ( R ) Und F ( R ) kommt drauf an T (Und μ ), aber ja, diese "Gleichgewichtsgleichung" ist nichts anderes als die übliche "Erhaltung" des Spannungs-Energie-Tensors.
@Trimok: Er macht eine Behandlung, die zu Schwarzschild wird, wenn χ = F , das ist der Spezialfall, den ich oben vorgestellt habe.
Wenn ja, dann die T v κ kann nicht die Quelle des Gravitationsfeldes sein.
@Trimok: Richtig, die T v κ hier diskutiert wird der Spannungs-Energie-Tensor des Seils, nicht des Gravitationskörpers.
Siehe auch : physical.stackexchange.com/q/104474/2451 und darin enthaltene Links.

Antworten (1)

Davon haben Sie ∇ R T R R = T ' , aber es gibt auch

∇ T T R T = ∂ ∂ T T R T + Γ a T T T R a − Γ R T a T a T = Γ R T T T R R − Γ R T T T T T = − Γ R T T ( T − μ ) .

So

∇ k T R k = ∇ R T R R + ∇ T T R T = − T ' − ( F ' / F ) ( T − μ ) .

Dies sollte ein Kommentar sein, aber die Symbole haben nicht funktioniert.

Meine Vermutung ist, dass es Gleichgewichtsgleichung genannt wird, weil T die Spannungsenergie des Seils ist, keine Spannungsenergie, die die Raum-Zeit-Geometrie beeinflusst. Der Hintergrund ist fixiert und das Seil lebt davon.

Rechts! Korrigiert.
Ich denke, es gibt noch ein anderes Problem: Wir vergessen das R − 2 Begriff in der Definition des Spannungs-Energie-Tensors, und dies ein Problem bei der Ableitung von ∂ R T R R
Ah ich sehe. Ich hatte es vernachlässigt ∇ T T R T , seit T R T = 0 . Es war mir nicht in den Sinn gekommen, dass die kovariante Ableitung von etwas, das identisch verschwindet, immer noch ungleich Null sein könnte! Ich denke, die Berechnung gibt wirklich eine Bedingung für das statische Gleichgewicht, weil der Spannungs-Energie-Tensor als diagonal angenommen wird, sodass es keinen Energie-Impuls-Fluss gibt.
Die Notationen können irreführend sein, das ist es wirklich ( ∇ ich T ) k J . Aber Trimok hat darauf hingewiesen, dass ich das verpasst habe R − 2 . Ich dachte, es wären nur Konstanten vorne.
Unter Berücksichtigung der MBN-Korrektur bezüglich der zusätzlichen kovarianten Ableitungsterme und der Trimok-Korrektur bezüglich der R − 2 Faktor bekomme ich folgendes: 0 = − ( 2 / R ) T + T ' + ( F ' / F ) ( T − μ ) . Dies unterscheidet sich von Browns Ergebnis durch die − ( 2 / R ) T Begriff, und ich denke, dass dieser Begriff eindeutig physikalisch falsch ist, da ich in die Newtonsche Grenze komme − ( 2 / R ) T + T ' − μ G = 0 . Es sollte sein T ' − μ G = 0 , ohne den ersten Term.
Ich glaube, ich kann das letzte Problem verstehen. Es gibt eine Version der Berechnung in einem Anhang von Fouxon, arxiv.org/abs/0710.1429 . Die Fasern des Seils werden als radial angesehen, es ist also ein Kegel, kein Zylinder. Die tatsächliche Spannung, die durch Integration über den Querschnitt des Kegels gefunden wird, ist es nicht T Aber j = T R 2 F . Mit dem Variablenwechsel bekomme ich das fast hin − ( 2 / R ) T Begriff zu verschwinden, außer dass ich immer noch von Zeichen verwirrt werde.
Mit den Notationen von Fouxon, diagonal T v κ ohne R − 2 Begriffe, wir haben: ∇ k T R k = S ' + ( F ' / F ) ( S + ρ ) = 0.
@Trimok: Ja, ich denke, was hier passiert, ist, dass Brown einen Fehler in seiner Arbeit gemacht hat. Wenn wir definieren ρ = μ / ( 4 π R 2 ) Und S = T / ( 4 π R 2 ) , dann ist Browns Stress-Energie-Tensor korrekt in Bezug auf geschrieben μ Und T , aber seine abschließende Differentialgleichung sollte dann eigentlich eine Differentialgleichung für sein ρ Und S .
@Trimok: Aha! Ich verstehe endlich, was mit dem los ist − ( 2 / R ) T Begriff. Ich habe nicht nur die weggelassen ∇ T T R T Begriff, aber keiner von uns hat gemerkt, dass es auch Begriffe gibt ∇ ϕ T R ϕ Und ∇ θ T R θ . Diese enden damit, die zu stornieren − ( 2 / R ) T .
@BenCrowell: Ja, du hast recht. Ich check das auch.
@BenCrowell: :)
@BenCrowell: Möglicherweise sollten Sie meine Antwort bearbeiten oder diese besser zu Ihrer Frage hinzufügen, damit sie unabhängig von den Kommentaren ist, die nicht immer gelesen werden.
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