Eine naive Frage nach Raumzeit-Singularitäten

Soweit ich weiß, kann eine solche Verzweigung nur für Funktionen mit komplexen Argumenten auftreten. Der metrische Tensor ist jedoch eine Funktion von vier reellen Koordinaten, sodass keine solche Verzweigung auftritt, selbst wenn eine Wurzel oder ein Logarithmus in einer der Komponenten des metrischen Tensors erscheint.

Es ist immer noch interessant darüber nachzudenken, ob "böse" Funktionen wie ein Logarithmus in einem metrischen Tensor auftreten können. Die Sache ist jedoch, dass es einfach ist, beliebige Funktionen durch eine Änderung der Koordinaten einzuführen. Aber warum das Leben komplizierter machen, als es ohnehin schon ist?

Hier ist eine Liste mit Beispielen für GR-Metriken: https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor_(general_relativity)#Examples Wie Sie sehen können, haben Pole die Form$\frac{1}{r^n}$(wie in der Schwarzschild-Metrik) oder im schlimmsten Fall$\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$(in FLRW-Metrik) wo$r>0$.

Die einfachste Lösung der allgemeinen Relativitätstheorie (außer der trivialen Minkowski-Metrik, die die Lösung ist, wenn keine Schwerkraft vorhanden ist) ist die Schwarzschild-Metrik. Es ist die Metrik, wenn es einen isolierten Massenpunkt gibt$M$am Ursprung vorhanden. Es wird von gegeben

${\displaystyle ds^2=-c^{2}\,{d\tau }^{2}=-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}{\displaystyle \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}}$

Wo$r_s=\frac{2GM}{c^2}$.

Hier sieht man das an$r=r_s$diese Metrik ist nicht definiert. Das liegt aber nur an den von uns gewählten Koordinaten. Dies wird als Koordinatensingularität bezeichnet und wir können dies beseitigen, indem wir andere Koordinaten verwenden. Ein Beispiel hierfür sind Polarkoordinaten. Hier ist der Ursprung eine Singularität, aber wir können das entfernen, indem wir kartesische Koordinaten verwenden. Eddington-Finkelstein-Koordinaten ist ein Beispiel für das Koordinatensystem, in dem$r=r_s$ist keine Singularität.

Aber der Ursprung ist ein anderer, er ist eine Singularität in allen möglichen Koordinatensystemen. Eine einfache Möglichkeit, dies zu sehen, ist die Berechnung des Kretschmann-Skalars . Für die Schwarzschild-Metrik ergibt sich der Kretschmann-Skalar nach Berechnung$\frac{48G^2M^2}{r^6}$, die im Ursprung nicht endlich ist. Im Gegensatz zur Metrik$g_{\mu\nu}$, Skalare sind nicht vom Koordinatensystem abhängig. Unendliche Skalare sind physikalisch nicht möglich.

Auch die Verzweigung in der komplexen Analyse ist auf die mehrwertige Natur einiger der komplexen Funktionen zurückzuführen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie arbeiten wir nur mit realen Werten. So etwas wird also nicht vorkommen. Raumzeit-Singularitäten ähneln dem Vorhandensein von Polen in der realen Analyse.