Wie variiert die Lichtgeschwindigkeit in einem Schwarzen Loch?

Obwohl interessante und sehr wichtige Fragen über exotisches Verhalten am Ereignishorizont unter Verwendung quantenmechanischer Argumente aufgeworfen wurden, passiert zumindest klassisch, dh in der Allgemeinen Relativitätstheorie, nichts Dramatisches am Ereignishorizont und nichts Katastrophales passiert der Physik, wenn nicht im Zentrum . Es ist allgemein bekannt, dass wir aus einer rein klassischen Perspektive (von der wir wissen, dass sie für eine umfassende Untersuchung von BHs nicht ausreicht) sicherlich die Koordinatenlichtgeschwindigkeit berechnen können.

In einer Raumzeit mit einem Schwarzschild-BH wird die berühmte Schwarzschild-Metrik geschrieben als

$d\tau^2$ $=$ $\bigg(1-\dfrac{2M}{r}\bigg)dt^2 - \dfrac{1}{\bigg(1-\dfrac{2M} {r}\bigg)}dr^2 - r^2 d\Omega^2$

wobei Symbole die übliche Bedeutung haben und das nicht rotierende ungeladene Schwarzschild BH an ist$r=0$.

Nun charakterisieren wir die Bewegung eines Photons durch$d\tau^2=0$Annahme der Gültigkeit des Äquivalenzprinzips überall (zumindest überall außer bei der Singularität at$r=0$). Somit wird die Bewegungsgleichung eines Photons

$0$ $=$ $\bigg(1-\dfrac{2M}{r}\bigg)dt^2 - \dfrac{1}{\bigg(1-\dfrac{2M} {r}\bigg)}dr^2 - r^2 d\Omega^2$

Daher kann die Koordinatengeschwindigkeit (der ohnehin einzig sinnvolle Geschwindigkeitsbegriff für ein Photon) mit der obigen Bewegungsgleichung leicht gefunden werden. Im Spezialfall der radialen Bewegung (d. h.$d\Omega=0$), kann die Koordinatengeschwindigkeit ausgedrückt werden als

$\bigg|\dfrac{dr}{dt}\bigg| = \bigg|1-\dfrac{2M}{r}\bigg|$

Dieser Ausdruck ist wohlerzogen und gleichermaßen gültig sowohl innerhalb (mit Ausnahme der Singularität) als auch außerhalb des Ereignishorizonts.

Eine Besonderheit, zu der ich die vollständige Auflösung nicht kenne (und daher die Glaubwürdigkeit meiner Antwort in Frage stelle. Falls meine Antwort irreparabel ist, können Sie sie gerne löschen.), Obwohl es mathematisch gesehen keine Probleme gibt Berechnen dieser Koordinatengeschwindigkeit innerhalb des Ereignishorizonts, da die Zeitkoordinate tatsächlich die Zeit ist, wie sie auf einer Uhr weit entfernt von BH angezeigt wird, ist es für die Person, die die radiale Verschiebung innerhalb des Ereignishorizonts misst, unmöglich, den Überblick zu behalten$t$koordinieren aufgrund seiner Unfähigkeit, Signale an diese weit entfernte Uhr zurückzusenden.

Nun, die besten Antworten auf diese Frage sind so ziemlich in den Antworten auf die Frage unter Wie verhält sich Licht im Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs?

Die direkte Antwort auf die Frage nach der Lichtgeschwindigkeit innerhalb des Horizonts ist einfach: Die Koordinatenlichtgeschwindigkeit hängt vom Koordinatensystem ab. Im unten gezeigten Kruskal-Szekeres-Koordinatensystem (aus der Referenz oben) ist die Geschwindigkeit c oder 1, wenn wir Einheiten verwenden, in denen c = 1 ist. Und ja, Sie können andere Antworten für die Koordinatenlichtgeschwindigkeit erhalten, sie sind nur koordinatenabhängig und in keiner Weise invariant. In einem lokalen Koordinatensystem ist es immer c - lokal breitet sich Licht immer bei c aus. Wie Rennie in seiner Antwort mathematisch zeigt, beträgt die Lichtgeschwindigkeit für ihn/sie selbst dann noch c, wenn sich ein frei fallender Beobachter von außen dem Horizont nähert.

Die folgende Beschreibung sagt Ihnen auch, was mit dem Licht im Inneren passiert.

Aus der Referenz ist die Antwort von Rennie aufschlussreich. Der von Motl diskutiert, wie es in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedlich aussieht, mit Koordinaten vom Typ Penrose, um die kausale Struktur der Raumzeit besser zu verstehen - was im Wesentlichen bedeutet, dass Sie die Lichtgeodäten explizit sehen können. Aber beide betonen die Koordinatengeschwindigkeit des Lichts. Am einfachsten zu verstehen, meiner Meinung nach, ist die Beschreibung von @Alfred-Centauri und das Diagramm der Raumzeit unter Verwendung von Kruskal-Szekeres-Koordinaten, die ein besonders schöner Koordinatensatz sind, um die leichte Geodätik und damit die kausale Struktur der Raumzeit zu sehen. sowohl INNERHALB als auch AUSSERHALB des Horizonts. Ich habe das folgende Diagramm aus Alfred-Centauris Antwort kopiert, in der leichte Geodäten einfach Linien bei 45 Grad sind, wie ein Minkowski-Raumzeitdiagramm. Sie können sehen, dass Lichtstrahlen (45-Grad-Kegel innerhalb des Schwarzen Lochs) von innerhalb des Horizonts nie näher an den Horizont herankommen, sie nähern sich tatsächlich r = 0, der Singularität, und wenn sie irgendwie am beginnen würden Horizont sie bleiben dort. Der Wiki-Artikel für diese Koordinaten ist unterhttps://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%E2%80%93Szekeres_coordinates

Und wie Sie dem Diagramm entnehmen können, kann Licht (noch irgendetwas anderes) jemals aus dem Inneren des Schwarzen Lochs entkommen, es wird immer in Richtung der Singularität gehen. Draußen ist es in diesen Koordinaten auch immer gleich c, aber denken Sie daran, dass der Horizont in den Schwarszchild-Koordinaten immer bei t = unendlich ist, also von außen für einen Beobachter im räumlichen Unendlichen, was die Schwarszchild-Koordinaten darstellen) Licht nie wirklich bekommt bis zum Horizont, obwohl er immer mit c reist.