Ist die Singularität eines Schwarzen Lochs ein einzelner Punkt?

Notwendigkeit einer koordinatenunabhängigen Definition

mehrere Koordinaten können sich auf einen einzelnen Punkt beziehen

Normalerweise definieren wir so etwas in GR so, dass wir einen Atlas haben , und der Atlas besteht aus Diagrammen. Jedes Diagramm muss umkehrbar sein, also nein, wir können nicht mehrere Koordinaten haben, die sich auf einen einzelnen Punkt beziehen. Wenn wir Dimensionalität auf einem topologischen Raum definieren, tun wir dies auf jeden Fall koordinatenunabhängig. Man kann zB die Lebesgue-Überdeckungsdimension verwenden .

Eine Singularität in der Metrik im Vergleich zu einer Singularität auf einem wohldefinierten metrischen Hintergrund

Angenommen, ich habe einen zweidimensionalen Raum mit Koordinaten$(u, v )$, und ich frage Sie, ob$S = \{(u, v )|v = 0\}$ein Punkt oder eine Kurve ist, während ich mich weigere, preiszugeben, welche Metrik ich im Sinn habe. Sie würden wahrscheinlich sagen$S$eine Kurve war, und wenn die Metrik war$ds ^2 = du ^2 +dv ^2$, du hast recht. Auf der anderen Seite, wenn die Metrik war$ds ^2 = v^2du ^2 +dv ^2$,$S$wäre ein punkt. Dies war ein Beispiel, bei dem es zwei mögliche Metriken gab, die wir uns vorstellen konnten. Bei einer Singularität ist es noch schlimmer. Es gibt keine mögliche Metrik, die wir auf die Singularität erweitern können.

Hawking und Ellis haben in Abschnitt 8.3, „Die Beschreibung von Singularitäten“, p. 276:

[Die Singularitätstheoreme] beweisen das Auftreten von Singularitäten in einer großen Klasse von Lösungen, geben aber wenig Auskunft über ihre Natur. Um dies genauer zu untersuchen, müsste man definieren, was man unter Größe, Form, Ort usw. einer Singularität versteht. Dies wäre ziemlich einfach, wenn die singulären Punkte in der Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit enthalten wären. Es wäre jedoch unmöglich, die Mannigfaltigkeitsstruktur an solchen Stellen durch physikalische Messungen zu bestimmen. Tatsächlich gäbe es viele mannigfaltige Strukturen, die für die nicht-singulären Regionen übereinstimmen, sich aber für die singulären Punkte unterscheiden.

Nachdem sie das Beispiel präsentiert haben, sagen sie:

Im ersten Fall wäre die Singularität eine Dreifläche, im zweiten Fall ein einzelner Punkt.

Nicht ein Punkt oder eine Reihe von Punkten

Ist die Singularität also nur ein einzelner Punkt in der gekrümmten Raumzeit oder kann es sich um ein ausgedehnteres Objekt handeln, das durch eine einzelne Koordinate beschrieben wird?

Technisch gesehen ist es nichts davon. Eine Singularität in GR ist wie ein Stück, das aus der Mannigfaltigkeit herausgeschnitten wurde. Es ist überhaupt kein Punkt oder Punktsatz. Aus diesem Grund müssen formale Behandlungen von Singularitäten viele nicht triviale Dinge tun, um Dinge zu definieren, die für eine Punktmenge trivial zu definieren wären. Beispielsweise ist die formale Definition einer zeitartigen Singularität kompliziert, da sie in Form von Lichtkegeln benachbarter Punkte geschrieben werden muss .

Grenzkonstruktionen geben keine Antwort

Es gibt einige mögliche Heuristiken, die Sie verwenden könnten, um die Singularität so zu beschreiben, als wäre sie eine Punktmenge, und über ihre Dimensionalität zu sprechen, als wäre sie eine Punktmenge. Sie können ein Penrose-Diagramm zeichnen . In einem Penrose-Diagramm stellt eine horizontale Linie eine raumartige 3-Fläche dar, wobei eine Dimension explizit auf dem Diagramm angezeigt wird und die anderen beiden, weil die Rotationssymmetrie implizit ist. Wenn Sie sich das Penrose-Diagramm für ein Schwarzschild-Schwarzes Loch ansehen, sieht die Singularität wie eine horizontale Linie aus. Es ist keine Punktmenge, aber wenn es so wäre, wäre es eindeutig raumartig und es sieht so aus, als wäre es eine 3-Fläche. Dies unterscheidet sich sehr von dem, was sich die meisten Menschen wahrscheinlich vorstellen würden, nämlich dass es sich um eine eindimensionale zeitähnliche Kurve handelt, wie die Weltlinie eines Elektrons.

Wenn Sie versuchen, diese Heuristik zu etwas Strengerem zu entwickeln, funktioniert sie im Grunde nicht. Dieses Programm wird als "Grenzkonstruktionen" bezeichnet. Übersichten sind zu diesem Thema verfügbar (Ashley, Garcia-Parrado). Es gibt eine Reihe von mehr oder weniger spezifischen Techniken zum Konstruieren einer Grenze, mit einer Buchstabensuppe von Namen, einschließlich der g-Grenze, c-Grenze, b-Grenze und a-Grenze. Als Nicht-Spezialist auf diesem Teilgebiet habe ich den Eindruck, dass dies ein Forschungsgebiet ist, das schlecht ausgefallen ist und nie brauchbare Ergebnisse hervorgebracht hat, aber die Arbeit geht weiter, und es ist möglich, dass irgendwann der Rauch aufhört wird klar. Als einfaches Beispiel dafür, was man aus diesen Studien gerne herausbekommen würde, aber nicht bekommt, wäre es naheliegend zu fragen, wie viele Dimensionen es in einer Singularität eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs gibt. Von den verschiedenen Methoden kommen unterschiedliche Antworten zurück. Zum Beispiel besagt der b-Grenzen-Ansatz, dass sowohl Schwarzes Loch als auch kosmologische Singularitäten nulldimensionale Punkte sind, während sie in der c-Grenzen-Methode (die entworfen wurde, um mit Penrose-Diagrammen zu harmonieren) drei Oberflächen sind (wie man sich vorstellen würde aus den Penrose-Diagrammen).

Kann von der Art des Schwarzen Lochs abhängen

Menschen haben GR in mehr als 3+1 Dimensionen studiert, und zB in 4+1 Dimensionen kann man Dinge wie „schwarze Ringe“ bekommen. Wenn man sich anschaut, wie diese tatsächlich in der Literatur beschrieben werden, scheinen die Leute es bequemer zu finden, über die Topologie des Horizonts zu sprechen, anstatt über die Dimensionalität der Singularität: http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr -2008-6/volltext.html . Dies liegt vermutlich daran, dass der Formalismus ungeeignet ist, um über die Dimensionalität der Singularität zu sprechen.

Ein weiteres Beispiel ist die Kerr-Metrik für ein rotierendes Schwarzes Loch. Die Singularität wird üblicherweise als Ring beschrieben. Aber in diesem Übersichtsartikel gibt es eine Diskussion der Singularität auf S. 8 und wieder auf S. 28. An beiden Stellen gibt es erschreckende Anführungszeichen um „Ring“. Ich denke, das liegt wiederum daran, dass wir geometrische Fragen zur Singularität nicht wirklich beantworten können, da es sich nicht um eine Punktmenge handelt, und Sie daher nicht sagen können, wie die Metrik dort aussieht.

Ein starkes Krümmungssingularitätskriterium liefert keine Antwort

Ein anderer Ansatz besteht darin, zu untersuchen, was mit Materie passiert, die durch Gravitationskollaps zur Bildung eines Schwarzen Lochs führt, oder mit einer hypothetischen Wolke von Testteilchen, die in ein ewiges Schwarzes Loch fällt. Wenn die Materie auf ein Volumen von Null zerkleinert wird, könnte es sinnvoll sein, dies als Beweis dafür zu interpretieren, dass die Singularität als Volumen von Null angesehen werden sollte.

Leider gibt dies auch nicht unbedingt eine endgültige Antwort. Man kann etwas definieren, das als starke Krümmungssingularität (scs) bezeichnet wird, definiert als eine Singularität, für die eine Geodäte bei affinen Parametern unvollständig ist$\lambda=0$, mit$\lim_{\lambda\rightarrow0}\lambda^2R_{ab}v^av^b\ne0$, Wo$v^a$ist der Tangentenvektor. Das Volumen einer Wolke von Testpartikeln geht gegen Null, wenn sie sich einer solchen Singularität nähert, wobei die Interpretation darin besteht, dass einfallende Materie zerkleinert und nicht nur spaghettifiziert wird. Die Singularität einer Schwarzschild-Raumzeit ist kein scs, weil es eine Vakuumraumzeit ist, also verschwindet der Ricci-Tensor. Das heißt, es findet nur eine Spagettifizierung statt, keine Zerkleinerung. Eine Wolke aus Testpartikeln behält beim Einfallen ein exakt konstantes Volumen bei.

Beim Kollaps, der zur Entstehung eines astrophysikalischen Schwarzen Lochs führt, könnte jedoch möglicherweise eine völlig andere Situation vorliegen. Während des Kollapses ist einfallende Materie vorhanden, sodass der Ricci-Tensor nicht verschwinden muss. Tatsächlich scheint es, dass in einigen ziemlich realistischen Modellen des Gravitationskollaps die Singularität während der Kollapsperiode eine zeitähnliche (lokal nackte) Singularität (Joshi) ist, was bedeutet, dass sie einen völlig anderen Charakter hat als die raumähnliche Singularität eines Ewigen Schwarzes Loch wie ein Schwarzschild-Schwarzes Loch. Es scheint, dass bei solchen Berechnungen die Materiedichte an der Singularität explodiert, was darauf hindeutet, dass es sich während der Entstehung um eine scs handeln könnte.

Schwierigkeiten bei der Schwarzschild-Raumzeit

Wenn wir an ein Schwarzes Loch denken, stellen wir uns normalerweise standardmäßig die Art von ewigem Schwarzen Loch vor, die von der Schwarzschild-Raumzeit beschrieben wird. Selbst in diesem denkbar einfachsten Fall treten einige erhebliche Schwierigkeiten auf. Wie oben erwähnt, kann die Singularität einen völlig anderen Charakter haben als die Singularität, die beim Gravitationskollaps eines astrophysikalischen Schwarzen Lochs auftritt, und dies lässt den Verdacht aufkommen, dass wir mit der Betrachtung des Schwarzschild-Falls wesentliche Überlegungen auslassen.

Darüber hinaus haben wir das No-Hair-Theorem, das besagt, dass es für eine stationäre Elektrovakuum-Raumzeit mit einem Ereignishorizont nur eine Klasse von Lösungen gibt, die durch drei Variablen parametrisiert werden können: Masse, Ladung und Drehimpuls. Dies definiert eindeutig, dass die Singularität eines stationären Schwarzen Lochs keine physikalischen Eigenschaften hat. Wenn es solche Eigenschaften hätte, müssten diese auf die Liste der drei Eigenschaften beschränkt werden, die durch das No-Hair-Theorem beschrieben werden. Dies sind jedoch keine Eigenschaften der Singularität, sondern eher Eigenschaften einer großen Region der Raumzeit, gemessen von einem entfernten Beobachter, der nicht einmal sagen kann, ob die Singularität „jetzt“ existiert. (Für einen solchen Beobachter mag es tatsächlich so aussehen, als würde einfallende Materie unendlich lange brauchen, um den Horizont zu durchqueren.)

Im Fall einer nackten Singularität könnten die Chancen für eine eindeutigere Antwort besser sein. Eine solche Singularität kann sowohl im Lichtkegel der Vergangenheit als auch im Lichtkegel der Zukunft eines Beobachters existieren, sodass man sich vorstellen kann, Experimente damit durchzuführen und die Ergebnisse zu finden. In diesem Sinne kann es wahrscheinlicher sein, messbare Eigenschaften zu haben.

Verweise

Ashley, „Singularitätstheoreme und die abstrakte Grenzkonstruktion“, https://digitalcollections.anu.edu.au/handle/1885/46055

Garcia-Parrado und Senovilla, „Kausale Strukturen und kausale Grenzen“, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501069

Joshi und Malafarina, „Alle schwarzen Löcher im inhomogenen Staubkollaps von Lemaitre-Tolman-Bondi“, https://arxiv.org/abs/1405.1146

Ist die Singularität eines Schwarzen Lochs ein einzelner Punkt?

Die Allgemeine Relativitätstheorie [(GR oder GTR)], ausgedrückt in Form von Differentialgeometrie [dreidimensionaler euklidischer Raum] ... ermöglicht es Ihnen, interessante Dinge mit den Koordinaten zu tun: Mehrere Koordinaten können sich auf einen einzelnen Punkt beziehen.

EG: Die gleichwinklige Projektion hat oben und unten eine ganze Linie, die dem Nord- und Südpol entspricht; oder eine einzelne Koordinate kann sich auf mehrere Punkte beziehen, zum Beispiel bezieht sich der Ursprung durch die Verwendung von inverser Geometrie auf alle Punkte, die unendlich weit entfernt sind.

Die scheinbare (Längs-) Koordinatensingularität bei 90 Grad Breite in sphärischen Koordinaten ist ein Artefakt des gewählten Koordinatensystems, das an den Polen singulär ist. Ein anderes Koordinatensystem würde die scheinbare Diskontinuität eliminieren, z. B. durch Ersetzen der Breiten-/Längengraddarstellung durch eine n-Vektordarstellung .

Ein kugelförmiges Objekt wie die Erde oder ein schwarzes Loch, das sich dreht, wird aufgrund seiner Rotation zu einem abgeflachten Sphäroid . Das Abbilden eines abgeflachten Sphäroids auf eine gleichwinklige Projektion führt zu einer Verzerrung .

Siehe auch JPLs „ Transformations from an oblate spheroid to a plane and vice versa: Die im kartografischen Projektionsprogramm MAP2 verwendeten Gleichungen “.

Die Schwerkraft um ein Schwarzes Loch herum ist so stark, dass sie sowohl Raum als auch Zeit beeinflusst. Aus diesem Grund wird eine Metrik (um Ihr Wort zu verwenden, Kartenprojektion) verwendet, um den Raum zu beschreiben, und nicht die euklidische Differentialgeometrie. Um der Gravitation Rechnung zu tragen, bedienen sich Physiker der Allgemeinen Relativitätstheorie, die in der Mathematik einer nichteuklidischen Geometrie formuliert ist .

Einige Artikel, die diese Berechnungen diskutieren, sind:

• " Eine neue Methode zur Konstruktion von Lösungen für Schwarze Löcher in Einstein und 5D-Schwerkraft ", Sergiu I. Vacaru, 28. Oktober 2001

• " Ellipsoidal Black Hole - Black Tori Systems in 4D Gravity ", Sergiu I. Vacaru, 19. November 2001

• „ A black hole cast on a non-commutative background “ von Manasse R. Mbonye, ​​5. August 2010.

Andere Lektüre:

• „ Die lästigen Nullgrenzen “, von Piotr T. Chruściel, Paul Klinger, 18.01.2018

Sie missbrauchen die Verdichtung , um ein kompliziertes Thema zu verstehen, das ist nur in Ordnung, wenn Sie nicht viel Zeit für das Erlernen eines schwierigen Themas aufwenden möchten und nur ein rudimentäres Verständnis wünschen.

Ist die Singularität also nur ein einzelner Punkt in der gekrümmten Raumzeit oder kann es sich um ein ausgedehnteres Objekt handeln, das durch eine einzelne Koordinate beschrieben wird?

Ein einzelner Punkt ist vergleichbar mit einem punktförmigen Teilchen , einem masselosen Teilchen der Größe Null; eine unendliche Anzahl von ihnen würde wiegen:$\infty \times 0$. Ohne Gewicht gäbe es keine Schwerkraft und ohne Schwerkraft gäbe es kein Schwarzes Loch.

Sogar Partikel der Größe Null können schlecht definierte Grenzen haben , und viele zusammengeballte machen eine genaue Analyse und Schätzung des Zentrums; um einen Ort bereitzustellen, eine schwierige Aufgabe. Aufgrund ihrer Nulldimension können viele denselben Ort einnehmen, durcheinander gehen oder sich geringfügig voneinander entfernen, wodurch ein ausgedehntes Objekt entsteht.

Ein Schwarzes Loch hingegen hat Masse, was Größe bedeutet, und obwohl wir sie auch nicht sehen können, ist ihre minimale Größe viel größer als ein Punktteilchen. Sie sind eine Singularität (haben keine Größe) in dem Sinne, dass sie so massiv sind, dass sie den Raum in ihrer Nähe bis zu einem gewissen Punkt verzerrt haben, ähnlich wie ein Spaßhausspiegel Ihnen eine andere Form geben kann, aber Ihre wahre Form und Größe bleibt unverändert .

Im Prinzip kann ein Schwarzes Loch jede Masse gleich oder größer der Planck-Masse (etwa 22 Mikrogramm) haben . Um ein Schwarzes Loch zu erzeugen, muss man Masse oder Energie so konzentrieren, dass die Fluchtgeschwindigkeit aus der Region, in der sie konzentriert ist, die Lichtgeschwindigkeit übersteigt.

In Bezug auf ihre Masse sagt Manasse Mbonye in "A black hole cast on a non-commutative background" (Link oben) Folgendes:

„In Anbetracht dessen, dass das Massenspektrum des Schwarzen Lochs einen großen Parameterraum abdeckt, mit einer konservativen Schätzung von etwa 42 Größenordnungen (von beispielsweise einem 1 g schweren Ur-Schwarzen Loch bis zu einem 10$^{42}$g), deutet dies auf ein ebenso großes Spektrum in der Dichte des zentralen Schwarzen Lochs hin. Daher könnte die Dichtefunktion theoretisch beliebige Werte annehmen, da weder Theorie noch Beobachtung der Masse des Schwarzen Lochs eine harte obere Grenze setzen.

Bevor Sie vorschlagen, dass 22 Mikrogramm komprimiert werden könnten, um eine physikalische Singularität (keine gravimetrische), einen nulldimensionalen Punkt, zu erzeugen, überlegen Sie, wie groß er im Vergleich zu einem Punktteilchen ist.

Punktpartikel können und werden die ganze Zeit direkt durch Sie hindurchgehen. Wenn Sie 22 Mikrogramm Botulinumtoxin Typ H inhalieren , würde dies ausreichen, um Sie (1692 / Ihr Gewicht in kg) um ein Vielfaches zu töten.

Eine kleine Menge Masse ist viel größer als ein Punkt, ebenso wie ein Schwarzes Loch. Schwarze Löcher nehmen nur so wenig Raum ein, weil sie die Fläche auf winzige Dimensionen (krümmen) komprimieren. Der Raum, der eine so große Masse (oft mehr als die 10-fache Masse unserer Sonne) umgibt, die eine so kleine Fläche einnimmt, ist ein Punkt (eine Singularität). Ein Schwarzes Loch wäre keine punktgroße Dimension, wenn seine Schwerkraft abgeschaltet werden könnte, wenn es eine deutlich größere Fläche einnehmen würde (reduzierte Dichte) oder seine Masse (Gewicht) enorm reduziert wäre.