Metrischer Durchmesser einer Ringsingularität

In der Kerr-Metrik liegt die Ringsingularität am Koordinatenradius R = 0 , was einem Ring mit dem kartesischen Radius entspricht R = A .

Das Zentrum der Ringsingularität in kartesischen Koordinaten liegt also bei R = − A ,   θ = π / 2 .

Aber auch der Mittelpunkt in kartesischen Koordinaten liegt bei R = 0 ,   θ = 0 (bei R = 0 alle θ liegen in der Äquatorebene, zumindest in Boyer-Lindquist- und auch in Kerr-Schild-Koordinaten).

Um den physikalischen Durchmesser zu berechnen, um zu sehen, wie viel durch den Ring passt (in einem Beispiel ist es ein Tiger , in einem anderen Alice & Bob ), würde ich integrieren

( 1 )         θ = π / 2 ,     D = 2 ∫ − A 0 | G R R |     D R = 2 ( 2 − A ) A + 4 arcsin ⁡ ( A 2 )

in der Äquatorialebene, oder ist es eher

( 2 )         R = 0 ,     D = ∫ − π / 2 π / 2 | G θ θ |     D θ = 2 A

da dies auch den Abstand von einer Seite des Rings zur gegenüberliegenden abdecken sollte.

Ansatz ( 2 ) gibt genau den Durchmesser in kartesischen Koordinaten an, aber ich weiß nicht, ob das so sein soll oder nur ein Zufall, da sonst die metrische Entfernung nicht unbedingt gleich der Koordinaten- oder kartesischen Entfernung ist.

Also welches ist es, ( 1 ) oder ( 2 ) ? Oder wird das ganz anders gemacht?

Die von mir verwendeten Koordinaten sind Kerr-Schild-Koordinaten , die das Innere mit den relevanten Komponenten abdecken sollten

G R R = − 2 R A 2 cos 2 ⁡ θ + R 2 − 1   ,     G θ θ = − R 2 − A 2 cos 2 ⁡ θ

Ich denke, es ist Ansatz ( 2 ) da niemand von der Äquatorebene in die Ringsingularität eintreten kann, würde ich aber gerne eine zweite Meinung dazu hören

Es scheint mir unwahrscheinlich, dass Sie in der Lage sein werden, einen Begriff des Durchmessers zu formulieren, der hier sinnvoll ist. Abgesehen von allen Fragen zum Fehlverhalten der Metrik an der Ringsingularität stellt sich die Frage, auf welchem ​​​​raumartigen Pfad Sie integrieren möchten. Damit der Begriff eines Durchmessers Sinn macht, müsste es einen bevorzugten Pfad geben. Außerhalb des Horizonts eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs haben wir an jedem beliebigen Punkt einen bevorzugten stationären Beobachter, und daher gibt es eine bevorzugte radiale Richtung, die orthogonal zur Weltlinie dieses Beobachters ist. Aber das geht hier nicht.
Daher verwende ich Kerr-Schild-Koordinaten (diese sind wie Finkelstein, aber für den rotierenden Fall), mit denen ich die Entfernung in einen frei fallenden Rahmen integrieren kann (der g_tr-Crossterm ist das Quadrat der Freifallgeschwindigkeit). Ich bin mir jetzt ziemlich sicher, dass es Methode 2 ist (das g_θθ-Integral von -90 ° bis +90 ° entlang r = 0), die mir den lokalen Durchmesser eines Objekts gibt, das gerade durch den Ring passt.

Antworten (1)

Die Argumentation kann in Boyer-Lindquist-Koordinaten durchgeführt werden.

Die Ringsingularität hat Koordinaten R = 0 , θ = π / 2 . Der Radius des Rings wird beschrieben durch R = 0 , θ = [ 0 , π / 2 ] . Das heißt, wir können entlang eines durch diese Koordinaten definierten Pfades integrieren D T = D R = D ϕ = 0 .
D S 2 = G θ θ D θ 2
Wo:
G θ θ = R 2 + A 2 cos 2 ⁡ θ = A 2 cos 2 ⁡ θ , ( R = 0 )
R R ich N G = A ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ D θ = A
Beachten Sie, dass G θ θ positiv ist, also ist der Weg raumartig.
Der Ansatz (2) ist richtig.

Stattdessen der Ansatz (1), also die Integration über die radiale Koordinate R ist nicht lebensfähig wie R ist null, dh entlang der Pfadbedeutung konstant D R = 0 .

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