Warum ist die Schwarzschild-Metrik für Licht am Ereignishorizont gleich 0?

Es gibt zwar Nullgeodäten, die dauerhaft am Ereignishorizont bleiben, aber die Herleitung im Lehrbuch ist falsch. Schwarzschild-Koordinaten decken den Ereignishorizont nicht ab, daher können Sie sie nicht verwenden, um zu analysieren, was dort passiert.$r=R_s$ist, wie Sie sagten, eine Koordinaten-Singularität; Weder Licht noch irgendetwas anderes kann in der Zeit eingefroren werden oder irgendetwas anderes bewirken$r=R_s$, weil es eigentlich kein Teil des Verteilers ist.

Die Antwort auf diese andere Frage ( direkter Link ) ist ebenfalls falsch: Es heißt

Dies ist eine Koordinaten-Singularität, und das definiert den Ereignishorizont.

Aber der Ereignishorizont ist definitiv nicht als der Ort definiert, an dem es eine Koordinaten-Singularität in einem dummen, von Menschenhand geschaffenen Koordinatensystem gibt. Der Ereignishorizont ist die koordinatenunabhängige Grenze zwischen dem Bereich, von dem aus Sie die zukünftige Unendlichkeit erreichen können, und dem Bereich, von dem aus Sie dies nicht können.

Das Problem der Koordinatensingularität ist spezifisch für Schwarzschild-Koordinaten und wird nicht von anderen gängigen Koordinatendiagrammen für die Schwarzschild-Geometrie geteilt, wie z. B. Eddington-Finkelstein-Einfallkoordinaten:

Wenn Sie die gleiche Berechnung wie im Lehrbuch durchführen, Einstellung$r=R_s$,$ds=0$, Und$dθ=d\phi=0$, du wirst es finden$dr/dt\in\{-c,0\}$, was darauf hinweist, dass ausgehende Null-Geodäten an diesem Radius "eingefroren" werden, während eingehende Null-Geodäten direkt hindurchgehen, wie Sie es von einer Einbahnstraße erwarten würden.$r=R_s$in Eddington-Finkelstein-Koordinaten ist eigentlich der Ereignishorizont. (In Schwarzschild-Koordinaten erhält man stattdessen$dr/dt\in\{0\}$, was bedeutet, dass eingehende und ausgehende Geodäten beide eingefroren und niemals getrennt sind, obwohl sie sich mit Lichtgeschwindigkeit voneinander entfernen, was ein weiteres Zeichen dafür ist, dass mit diesen Koordinaten etwas nicht stimmt.)

Denken Sie an die einfache alte Minkowski-Raumzeit in zwei Dimensionen mit Linienelementen$ds= -c^2 dt^2 + dx^2$. Da Licht masselos ist, wird seine „Eigenzeit“ durch quantifiziert$ds$ist einfach null. Wenn wir das in das Linienelement einsetzen, erhalten wir die Gleichung$(\frac{dx}{dt})^2 = c^2$was Ihnen die Standardlichtgeschwindigkeit gibt.

Nun, das ist genau das, was sie im Text getan haben, mit Ausnahme der Schwarzschild-Metrik. Beachten Sie, dass die Metrik selbst beim Schwarzschild-Radius (zumindest in diesen Koordinaten) undefiniert ist, aber die Koordinatenlichtgeschwindigkeit, die Sie durch Auflösen erhalten$\frac{dr}{dt}$in der Gleichung$ds=0$ist dort wohldefiniert und wird zu null ausgewertet.