Koordinatensingularität in Metrik

Question

Koordinatensingularität in Metrik

Jim Burns

Angenommen, ich habe eine Metrik

D S^{2} = G (T) D T^{2} + \frac{1}{R} D R^{2}

$ds^2=g(t)dt^2+\frac{1}{r}dr^2$

die eine Singularität bei hat $r=0$ .

Allerdings, wenn ich die Koordinatentransformation mache $u=\frac{1}{r}$ , dann bekomme ich:

D S^{2} = G (T) D T^{2} + R^{3} D u^{2}

$ds^2=g(t)dt^2+r^3 du^2$

die keine Singularität mehr bei hat $r=0$ .

Bedeutet dies, dass die Singularität bei $r=0$ ist lediglich ein Artefakt der Wahl des Koordinatensystems? Oder muss man die Krümmung berechnen und schauen, ob es eine Singularität in der Krümmung gibt?

Ich finde es verwirrend, wenn Leute sagen, dass die Singularität der Schwarzschild-Metrik am Ereignishorizont keine Singularität ist, weil am Horizont eindeutig etwas passiert. Wenn Sie zu den Kruskel-Koordinaten (T, X) gehen, ist die Metrik am Horizont nicht singulär, aber na und? Rechnet man die $ds^2$ von jemandem, der den Horizont überquert, dann sollten Sie Unendlich erhalten, entweder in (t,r) oder (T,X) Koordinaten, so dass die „Singularität“ am Horizont korrekt ist und an der Metrik nichts fehlerhaft zu sein scheint Unendlich in den Schwarzschild-Koordinaten: Die Schwarzschild-Metrik gibt die korrekte Physik an. Mit Kruskel-Koordinaten scheinen Sie die Unendlichkeit am Horizont in dX und dT zu verschieben, die am Horizont unendlich sind, wenn $dr\neq 0$ .

Es scheint, wenn Sie eine Singularität in einem Koordinatensystem haben, dann gibt es physikalisch eine Flugbahn, die eine unendliche Eigenzeit ergibt, was darauf hinweist, dass die Singularität physikalisch ist und von jemandem auf dieser Flugbahn gefühlt werden kann.

DilithiumMatrix

Der Unterschied besteht zwischen einer „Koordinate“ und einer „physikalischen“ Singularität. Dies könnte hilfreich sein .

Javier

Die richtige Zeit, wenn der Horizont überschritten wird, ist endlich; Sie können dies in Schwarzschild-Koordinaten überprüfen.

Prahar

Übrigens, im

(u, t)

$(u,t)$ Koordinaten, die Sie haben, gibt es immer noch eine Koordinaten-Singularität

r = 0

$r = 0$ . Koordinatensingularität bedeutet beides

g

$g$ Und

g^{- 1}

$g^{-1}$ sind wohldefiniert.

Benutzer107153

Die wichtige physikalische Frage, die man sich stellen muss, lautet meiner Meinung nach: Passiert einem trägen Beobachter am Horizont etwas Schlimmes? Die Antwort ist eindeutig nein (in reinem GR). Also muss jede „Singularität“ am Horizont irgendein Artefakt unserer Beschreibung sein, nicht der Physik. Und das stellt sich als wahr heraus: Die „Singularität“ liegt daran, dass wir faule Koordinaten am Horizont verwenden.

Antworten (2)

Koordinatensingularität in Metrik

Der Unterschied besteht zwischen einer „Koordinate“ und einer „physikalischen“ Singularität. Dies könnte hilfreich sein .
Die richtige Zeit, wenn der Horizont überschritten wird, ist endlich; Sie können dies in Schwarzschild-Koordinaten überprüfen.
Übrigens, im $(u,t)$ Koordinaten, die Sie haben, gibt es immer noch eine Koordinaten-Singularität $r = 0$ . Koordinatensingularität bedeutet beides $g$ Und $g^{-1}$ sind wohldefiniert.
Die wichtige physikalische Frage, die man sich stellen muss, lautet meiner Meinung nach: Passiert einem trägen Beobachter am Horizont etwas Schlimmes? Die Antwort ist eindeutig nein (in reinem GR). Also muss jede „Singularität“ am Horizont irgendein Artefakt unserer Beschreibung sein, nicht der Physik. Und das stellt sich als wahr heraus: Die „Singularität“ liegt daran, dass wir faule Koordinaten am Horizont verwenden.

Alfred Centauri · Answer 1

Wenn Sie den ds2 von jemandem berechnen, der den Horizont überquert, sollten Sie unendlich erhalten, entweder in (t,r)- oder (T,X)-Koordinaten

Im Zusammenhang mit der Schwarzschild-Lösung gibt es mit Ausnahme eines einzelnen Ereignisses keine Schwarzschild-Koordinaten für den Horizont; das heißt, für jede Endlichkeit $t$ , werden die Koordinaten (t, 2M) einem Ereignis am Horizont zugeordnet.

Aber alle Weltlinien durch dieses Ereignis liegen ansonsten innerhalb der vergangenen und zukünftigen Horizonte, so dass die Schwarzschild-Koordinaten nicht ausreichen, um „jemanden zu beschreiben, der den Horizont überquert “.

Die Kruskal-Szekeres-Koordinaten sind am Horizont nicht singulär und können daher dort verwendet werden. Bei rein radialer Bewegung und am Horizont gilt

D τ^{2} = 16 M^{2} (D T^{2} - D X^{2})

$d\tau^2 = 16M^2(dT^2 - dX^2)$

Wenn ich jedoch die Koordinatentransformation u=1/r mache

was nicht definiert ist $r=0$ .

Jim Burns · Answer 2

Die Schwarzschild-Metrik ist $ds^2=-(1-\frac{2m}{r})dt^2+(1-\frac{2m}{r})^{-1}dr^2$ . Vermutlich, wenn Sie schreiben $dt=\frac{dt}{dr}dr$ , Wo $\frac{dt}{dr}$ kommt von der Lösung der geodätischen Gleichung, das verstehen Sie $ds^2=f(r)dr^2$ , Wo $\int ds=\int^r_{r_0} \sqrt{f(r)}dr$ hat keine Singularitäten an $r=2m$ und weist tatsächlich keine Singularitäten auf $r=0$ .

So gesehen ist das Schwarzschild-Koordinatensystem sogar gut $r=2m$ , aber um eine vernünftige Physik zu erhalten, müssen Sie die geodätische Gleichung hinzufügen.

Aber wenn ich eine Trajektorie erstelle, die die Bewegungsgleichungen (nicht geodätisch) nicht erfüllt, kann ich eine unendliche Eigenzeit erhalten. Zum Beispiel, $dt=0$ , $r_0=2m+2m$ , und nehmen Sie diese Flugbahn den ganzen Weg nach unten von $r_0=2m+2m$ Zu $r=2m+\epsilon$ , Wo $\epsilon$ ist unendlich klein. Diese Flugbahn explodiert, und es spielt keine Rolle, ob Sie Kruskal-Koordinaten verwenden oder nicht, da $ds^2$ ist in allen Koordinatensystemen gleich. In Kruskal-Koordinaten ist die Metrik in Ordnung, aber $dX$ Und $dT$ , die Linearkombinationen von sind $dt$ Und $dr$ (Und $dt=0$ in meinem beispiel also eigentlich nur eine funktion von $dr$ ) mit Koeffizienten, die davon abhängen $(r,t)$ : diese Koeffizienten explodieren als $r \rightarrow 2m$ .

Es scheint also, dass sowohl die Kruskal-Koordinaten als auch die Schwarzschild-Koordinaten am Horizont explodieren, es sei denn, Sie verwenden die geodätische Gleichung.

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Jim Burns

DilithiumMatrix

Javier

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Benutzer107153

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Alfred Centauri

Jim Burns

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