Physikalische Interpretation der Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Ich (persönlich) denke nicht, dass wir über die Bedeutung der Koordinaten sprechen sollten. Die Kruksal-Metrik ist eine nützliche Neukoordinierung der Schwarzschild-Raumzeit.

Wenn Sie etwas über die Schwarzschild-Metrik gelernt haben, dann haben Sie wahrscheinlich gesehen, dass sich die Lichtkegel verformen, wenn Sie sich dem Ereignishorizont nähern (und einmal hineindrehen), weil sogar Licht aufgrund der Verkrümmung Schwierigkeiten hat, die Umgebung des Schwarzen Lochs zu verlassen der Raumzeit dort (nicht ganz Gravitationsanziehung, da Schwerkraft als Kraft in GR nicht existiert). Beachten Sie auch, dass sich die Lichtkegel denen der Minkowski-Metrik annähern$r>>2M$.

Einer der Hauptunterschiede zwischen der Schwarzschild- und der Kruksal-Metrik besteht darin, dass bei letzterer die Lichtkegel so erhalten bleiben, als wäre es Minkowski-Raumzeit. Der$X$Koordinatenlinien sind Hyperbeln anstelle von vertikalen Linien; während die$T$Koordinatenlinien sind Geraden durch den Ursprung ($T=0$ist eine horizontale Linie und als$T \rightarrow \infty$die Linie nähert sich dem Ereignishorizont). Der Vorteil der Kruksal-Koordinaten ist, dass man darin viele schöne Dinge sehen kann:

-Eine Region, aus der nichts entkommen kann (schwarzes Loch)

-Ein Bereich, in dem nichts bleiben kann (weißes Loch, obwohl dies wahrscheinlich nur ein Extra ist [wie die Lösung eines parabolischen Tabletts zwei Lösungen gibt, aber nur die eine in der Zukunft relevant ist])

-Ein anderer Abschnitt der Raumzeit, der vollständig von der anderen isoliert ist (Paralleluniversum)

-Eine "Brücke" zwischen den beiden Universen (at$T=0$du könntest auf die andere Seite gehen... wenn du schneller als das Licht gehen könntest... also... nein) (Wurmloch)

Es gibt eine andere konforme Transformation, die für Penrose-Diagramme verwendet wird, die die gleichen Dinge enthält, aber in gewisser Weise schöner ist. (Einfach "Penrose-Diagramm Schwarzschild" googeln).

Hoffe es hat geholfen.

Die physikalische Bedeutung der Kruskal-Szekeres-Koordinaten besteht darin, dass sowohl einfallende als auch ausgehende Nullgeodäten um 45 ° geneigten Linien im Raumzeitdiagramm entsprechen.

Genauer gesagt entsprechen radiale Null-Geodäten

$$\begin{array}{l} T+X=\mathrm{const},\qquad \text{infalling,}\\ T-X=\mathrm{const},\qquad \text{outgoing.} \end{array}$$

Zum anderen Teil der Frage:

es scheint als$T$,$X$haben die Bedeutung von "der richtigen Zeit" und "der richtigen Entfernung", gemessen von einem frei fallenden Beobachter. Ist das korrekt?

Da Linienelement in Bezug auf$T$,$X$hat einen Faktor vor$dT^2$das divergiert als Singularität ($r=0$) angesprochen wird, scheint die Antwort auf diese Frage „Nein“ zu lauten.

Ich bin mir nicht sicher, ob Ihr Verständnis der physikalischen Bedeutung der Schwarzscild-Koordinaten richtig ist. In GR habe ich oft gehört, dass die Ortsmengen wegen diff keinen Sinn machen. Invarianz.

Die Schwarzscild-Geometrie kann anhand des folgenden Bildes verstanden werden: Angenommen, es gibt einen Beobachter an jeder Position des Raums mit festem Wert$(r,\theta,\phi)$(Schwarzschild-Beobachter genannt) trägt jeder Beobachter zwei Uhren. Eine ist die Standarduhr, die seine richtige Zeit aufzeichnet. Eine Schwarzscild-Uhr zeichnet die Koordinatenzeit t auf, die an verschiedenen Positionen mit unterschiedlicher Eigengeschwindigkeit abläuft. Bei unendlich laufen beide Uhren gleich schnell. An jeder Position haben wir

$$\mathrm{d}\tau~=~\sqrt{1-\frac{2GM}{r}} \, \mathrm{d}t~=~\left.\mathrm{d}t\right|_{t \to \infty}\,.$$ Die richtige Entfernung des Schwarzschild-Beobachters ist $$\mathrm{d}l~=~\frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}\,.$$

Für die Kruskal-Koordinaten, die für frei fallende Beobachter gut sind, da sie die gesamte Geometrie abdecken

$$\mathrm{d}s^2~=~-\frac{32G^3M^3}{r} \, \exp{\left(-\frac{r}{2GM}\right)} \left(\mathrm{d}T^2-{\mathrm{d}Z}^2 \right)+r^2 \,\mathrm{d}\Omega^2$$ Für den radial frei fallenden Beobachter ist an jeder Position die Eigenzeit $\mathrm{d}\tau \propto \mathrm{d}T$, und der richtige Abstand ist $\mathrm{d}l \propto \mathrm{d}Z$.