Warum führen Versuche, das Auftreffen auf eine Singularität eines Schwarzen Lochs zu verzögern, intuitiv dazu, dass Sie es schneller erreichen?

Tatsächlich erweist es sich als falsch, dass der freie Fall die optimale Strategie ist. Es gibt eine optimale Strategie zum Zünden Ihres Raketentriebwerks, die Ihre Eigenzeit vom Ereignishorizont bis zur Singularität maximiert und sie über die Eigenzeit eines frei fallenden Beobachters hinaus verlängert.

Hier ist ein Papier, das das Problem diskutiert und Strategien zur Maximierung der Eigenzeit für die Singularität beschreibt:

https://arxiv.org/abs/0705.1029v2

Bearbeiten: eine TL; DR-Zusammenfassung des Papiers. Eine einfallende Rakete kann die Eigenzeit für die Singularität maximieren, indem sie zuerst einen Abbrand macht, der der Flugbahn eines frei fallenden Objekts entspricht, das am Horizont in Ruhe begann. Sobald die Rakete diese spezifische Flugbahn erreicht hat, sollte sie die Triebwerke ausschalten.

Meine (sehr begrenzte) Intuition dafür ist, dass die Singularität, sobald Sie den Ereignishorizont überqueren, weniger ein entfernter Punkt im Raum ist, als vielmehr ein Moment in der zukünftigen Zeit.

Mit anderen Worten, innerhalb des Ereignishorizonts feuern Sie Ihre Raketen nicht ab, um einen bestimmten Punkt zu vermeiden$(x,y,z)$, sondern eher nächsten Donnerstag zu vermeiden. Von hier aus verwende ich meine Intuition über die Zeitdilatation und die Tatsache, dass Geodäten Trajektorien mit maximaler Eigenzeit sind.

Ich bin keineswegs ein GR-Experte, also wenn dieses Bild falsch ist, sind Korrekturen mehr als willkommen :)

Hier ist eine Teilantwort, obwohl sie immer noch ziemlich formell ist. Erst definieren

$$E := -\left( \frac{2GM}{r} - 1 \right) \frac{dt}{d\tau}, \qquad L := r^2 \frac{d\phi}{d\tau}$$ in den üblichen Schwarzschild-Koordinaten. Wenn Sie frei fallen, dann $E$und $L$sind über Ihrer Flugbahn konstant, aber wenn Sie Ihre Triebwerke zünden können, können sie sich ändern. Wir können die Normalisierungsbedingung erweitern $U \cdot U = -1$zu $$\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 - \left(\frac{2GM}{r} - 1 \right) \left(1 + \frac{L^2}{r^2} \right) = \frac{1}{2} E^2,$$ was etwas wie die Aussage über die Energieerhaltung (pro Masseneinheit) für ein nichtrelativistisches Teilchen mit Drehimpuls aussieht $L$.

Aber es gibt zwei seltsame Aspekte dieser Gleichung:

1. Wenn Sie das Produkt der beiden Binome auf der linken Seite erweitern, erhalten Sie einen seltsamen Begriff$-2GM L^2/r^3$das kommt im nichtrelativistischen Fall nicht vor. Anders als bei der üblichen zentrifugalen Drehimpulsbarriere handelt es sich hierbei um eine fiktive „Kraft“ des zentripetalen Drehimpulses, die das Teilchen bei kleinen Radien tatsächlich nach innen saugt. Dies bedeutet, dass der Drehimpuls tatsächlich Ihr Feind und nicht Ihr Freund ist, um die Singularität zu vermeiden. Sie möchten also nicht auf eine Weise beschleunigen, die seine Größe erhöht.

2. Die effektive Gesamtenergie$\mathcal{E}$ist nicht die physikalische mechanische Energie$E$, aber stattdessen$\frac{1}{2} E^2$. Im nichtrelativistischen Standardfall verringert das Zünden Ihrer Motoren, um Ihren Einfall zu verlangsamen, Ihre gesamte mechanische Energie und hilft Ihnen, die Annäherung an das Zentrum zu verzögern. (Dies mag auf den ersten Blick kontraintuitiv erscheinen, da wir stark negative Energien mit eng gebundenen Umlaufbahnen und positive Energien mit ungebundenen Umlaufbahnen assoziieren, sodass Sie vielleicht denken, Sie würden Ihre Energie erhöhen wollen . Aber um die Annäherung an das Zentrum zu verzögern, Sie tatsächlich bremsen und Ihre Energie negativer machen wollen , auf Kosten der Tatsache, dass Sie insgesamt tiefer in der Schwerkraft gefangen sind und mehr Zeit in der Nähe des Zentrums verbringen, wenn Sie endlich dort ankommen.) Aber im Fall Schwarzschild,$\mathcal{E} = \frac{1}{2} E^2$bedeutet, dass Ihre effektive Energie tatsächlich nicht monoton von Ihrer physischen Energie abhängt: Wenn Ihre physische Energie$E$negativ ist, dann erhöht es Ihre effektive Energie , wenn Sie es noch negativer machen$\mathcal{E}$. Dies bedeutet, dass die Minimierung Ihrer effektiven Energie erfordert, dass Sie Ihre physische Energie auf einem konstanten Wert halten$E = 0$, was in der Tat der optimalen Geodäte entspricht, die infinitesimal außerhalb des Horizonts in Ruhe beginnt. Jeder Versuch, weiter zu bremsen, wird überschießen$E = 0$und senden$E$negativ, was Ihre effektive Energie tatsächlich erhöht und Sie verletzt.

In einer Metrik, wie z

$$d\tau^2=g_{11}dt^2-g_{22}dr^2$$

das längste Intervall$d\tau$zwischen zwei Ereignissen liegt offensichtlich das Wann$dr=0$einfach wegen dem Vorzeichen. Dies ist das Ruhesystem ohne Bewegung im Raum und folglich ohne Zeitdilatation aufgrund von Bewegung. Beliebig$dr\ne 0$würde zu einer Bewegung mit stärkerer Zeitdehnung führen und damit das Intervall bzw. die Eigenzeit verkürzen.

Die radial geometrisierte Schwarzschild-Metrik innerhalb des Ereignishorizonts ist

$$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2 - \left(\frac{r_s}{r}-1 \right)\,dt^2\tag{1}$$

Woher$r$ist die Koordinatenzeit und$t$ist eine Raumkoordinate, die orthogonal zur Zeit ist und daher nicht auf den Mittelpunkt zeigt. Wie oben erwähnt, ist die längste richtige Zeit wann$dt=0$und deshalb

$$d\tau^2 = \left(\frac{r_s}{r}-1\right)^{-1} \,dr^2$$

Oder

$$d\tau =\dfrac{dr}{\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}}$$

Lösen

$$\tau=-r\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}-r_s\arctan\left(\sqrt{\dfrac{r_s}{r}-1}\right)+C$$

Von$\,r=r_s\,$zu$\,r=0\,$die längstmögliche Lebensdauer innerhalb des Schwarzen Lochs ist

$$\tau=\dfrac{\pi}{2}r_s=\pi M$$

Genauer gesagt, die gebundene Lösung der geodätischen Gleichungen für die radiale Metrik$(1)$ergibt die folgenden Geodäten (wobei$R$ist der Radius, ab dem der Fall in Ruhe beginnt)

$$\tau=\dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{R}{2M}}\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right)$$

Und

$$t=\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}\cdot\left(\left(\dfrac{R}{2}+2M\right)\cdot\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)+\dfrac{R}{2}\sin\left(\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)\right)+$$

$$+\, 2M\ln\left(\left|\dfrac{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}+\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}{\sqrt{\dfrac{R}{2M}-1}-\tan\left(\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{2r}{R}-1\right)\right)}\right|\right)$$

Zeichnen Sie diese Funktionen für den Fall vom Horizont$r=2M$bestätigt keine räumliche Bewegung$t=0$(blaue Linie) sowie die maximale Eigenzeit$\tau=\pi M$(grüne Linie). Bitte beachten Sie diese Zeit$r$auf dem Diagramm bewegt sich von rechts nach links.

Im Vergleich dazu stellt die nächste Handlung einen Sturz dar$r=5M$Zeit zeigen$t$über dem Horizont, der ins Unendliche auseinandergeht und eine schnelle räumliche Bewegung entlang zeigt$t$innerhalb des Horizonts, was zu einer stärkeren Zeitdilatation führt, die zu einem (ungefähr zweimal) kleineren Wert der Eigenzeit führt$\tau$zwischen dem Horizont bei$r=2M$und die Singularität bei$r=0$.

Die Diagramme zeigen, dass die Gravitation innerhalb eines Schwarzen Lochs eine Verzögerung von sich bewegenden Körpern bewirkt$\dfrac{d^2t}{dr^2}\lt 0$und beschleunigt ruhende Körper nicht mit der Geschwindigkeit von$\dfrac{dt}{dr}=0$.

Mit diesen Ergebnissen können wir nun die Geometrie eines Schwarzschild-Schwarzen Lochs in einer um eine Dimension reduzierten Raumzeit visualisieren

In diesem Diagramm ist die Koordinate$t$ist vertikal. Außerhalb des Ereignishorizonts$t$stellt die Zeit dar; innerhalb des Ereignishorizonts$t$stellt eine räumliche Dimension dar, die nicht auf die Singularität hinweist. Die Radialkoordinate$r$ist außerhalb des Horizonts räumlich, repräsentiert aber die Zeit im Inneren. Somit ist die Singularität eine Linie entlang der räumlichen Dimension von$t$zum Zeitpunkt von$r=0$.

Ein Körper, der vom Ereignishorizont fällt$A$hat keinen Impuls entlang der räumlichen Dimension von$t$. Daher ist dieser Körper im Inneren stationär und bewegt sich nur in der Zeit mit$r$von$A$zu$B$. Aufgrund der Symmetrieüberlegungen kann dieser Körper keinen Impuls entlang der Raumrichtung von erhalten$t$während des Sturzes. Aus diesem Grund hätte ein Körper, der aus dem Ereignishorizont fällt, die längstmögliche Lebensdauer innerhalb des Horizonts, wie oben diskutiert. Während wir diese Bewegung "freien Fall" nennen, bleibt der Körper tatsächlich stationär im Raum.

Ein anderer Körper im freien Fall aus dem Unendlichen oder von einem beliebigen Punkt außerhalb würde sich außerhalb des Horizonts entlang der Geodätischen ab bewegen$C$zu$D$. Punkt bestanden$D$Zeit divergiert für einen externen Beobachter ins Unendliche. Nach dem Überqueren des Horizonts bewegt sich dieser Körper weiter entlang der geodätischen Form$E$zu$F$(siehe auch die geodätische Karte oben). Denn dieser Körper bewegt sich im Raum entlang der Dimension von$t$, erfährt der Körper aufgrund von Bewegung eine Zeitdilatation, die seine gesamte Eigenzeit im Inneren des Schwarzen Lochs verkürzt.

Zur Verlängerung der eigentlichen Zeit, die Bewegung entlang$t$muss abgebremst und angehalten werden, wie bei gezeigt$G$. Danach ist der Körper stationär ohne Bewegung im Raum entlang$t$während Sie sich nur in der Zeit entlang bewegen$r$von$G$zu$H$. Vorausgesetzt, dass die Verzögerungszeit vernachlässigbar ist, wird die Lebensdauer dieses Körpers offensichtlich maximiert, wie zuvor diskutiert.