Bedeutung von „physikalischen“ und „gravitativen“ Metriken

Ja.

Die kurze Antwort ist, dass Sie eine Aktion extremisieren müssen, um Einsteins Feldgleichung zu erhalten$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Was Sie sich als Bewegungsgleichungen für die Gravitationsmetrik vorstellen können$g_{\alpha\beta}.$(Sie bestimmen die zweiten Ableitungen der Metrik in Bezug auf die Materiefelder und die Metrik und die ersten Ableitungen der Metrik.) Und Sie haben eine andere Aktion, die Sie extremisieren, um die Bewegungsgleichungen für die Materie zu erhalten (anstatt sich auf Geodäten zu bewegen). in der Gravitationsmetrik). Es ist also, als gäbe es eine andere Geometrie, die Sie verwenden, um herauszufinden, wie sich die Materie bewegt.

Um den Zwei-Geometrie-Ansatz mit GR zu vergleichen, gehe ich zunächst auf einige Details darüber ein, wie GR normalerweise verwendet wird (mehr Details, als Sie vielleicht sehen möchten). Dies dient zu Kontrast- und Vergleichszwecken. Überspringen Sie einfach den nächsten Absatz, wenn es zu lästig ist, wie GR normalerweise praktiziert wird, und Sie weitermachen müssen. Ich persönlich weiß nicht, warum der Ansatz mit zwei Geometrien erforderlich oder sogar wünschenswert wäre, aber wenn er mit den bisherigen Beobachtungen übereinstimmen kann, werde ich nicht im Voraus urteilen.

In GR sind Referenzpartikel (oder Testpartikel) Partikel, die eine verschwindende Masse und einen verschwindenden Spin und eine verschwindende Ladung usw. haben und deren Grenzen auf eine nette Weise auf Null gebracht werden (so dass sie schöne Verhältnisse haben usw.), so dass, wenn sie außer der Schwerkraft keinen Wechselwirkungen unterliegen, bewegen sie sich auf Geodäten in der Hintergrundraumzeit, zu deren Krümmung sie beitragen. Zumindest ist das die Geschichte, die die Leute gerne erzählen. Es ist schwer, es genau genug zu machen, um richtig oder falsch zu sein, und es gibt keine Testpartikel in der Natur, sodass die Details für immer durch Experimente nicht prüfbar sind. Es ist am besten anwendbar, wenn Sie GR in einer Fluiddynamikgrenze für Ihre Materiequellen durchführen. Dann haben Sie ein Fluidelement mit Masseneigenschaften, und die Komponenten innerhalb eines Elements können Testpartikel als kontinuierliche Materiedichte sein.

Das ist zumindest die Geschichte, die Dinge bewegen sich auf Geodäten, wenn es nur die Schwerkraft ist. Aber Sie könnten sich Einsteins Feldgleichung ansehen und entscheiden, dass Sie wollen, dass sich die Raumzeit-Geometrie so entwickelt, dass sie damit übereinstimmt$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}.$Aber dann könnten Sie sagen, dass Sie nicht wollen, dass sich diese Testpartikel auf Geodäten bewegen. Das ist Ihr gutes Recht, wenn Sie mit den bisherigen Beobachtungen übereinstimmen können.

Daher ist der Zwei-Geometrien-Ansatz zur Formulierung der Gravitationstheorie ein wichtiges Paradigma. Immer wenn es notwendig wird, eine neue Gravitationstheorie zu formulieren, besteht ein konservativer Weg, um unmittelbare Konflikte mit den Tests von GR zu vermeiden, darin, eine Riemannsche Metrik heranzuziehen$g_{\alpha\beta}$, bauen daraus die Einstein-Hilbert-Wirkung für die Dynamik der Geometrie und bewirken die Abweichung vom Standard-GR, indem sie die Beziehung zwischen vorgeben$g_{\alpha\beta}$und die physikalische Geometrie, auf der sich Materie ausbreitet. Die meisten bekannten Theorien gehen davon aus, dass die Beziehung eine einfache konforme Transformation ist.

Dann stellt der Autor unten auf Seite 4 fest, dass die Teilchendynamik durch Extremisierung bestimmt wird

Sie haben also immer noch eine Metrik, die macht$G_{\alpha\beta}=kT_{\alpha\beta}$und Sie können sich das als Bewegungsgleichungen für die Gravitationsmetrik vorstellen (diejenige, die macht$G_{\alpha\beta}$) wenn gegeben$T_{\alpha\beta}.$Aber dann kann es eine andere Geometrie geben, für die$S=\frac{1}{2}\int g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha \dot x^\beta F(I,H,\Psi)d\lambda$ist extremisiert und diese Geometrie sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll.

Dies ist der wesentliche Aspekt eines Ansatzes mit zwei Geometrien. Und Sie können es so machen, dass masselose Teilchen (eigentlich masselose Teilchen, die von Anfang an masselos waren, nicht die treuhänderischen Testteilchen, die sich auf zeitähnlichen "Kurven" bewegten, selbst als Sie vorgaben, die Grenze von keiner Masse zu nehmen) freigesetzt wurden Die zweite Geometrie, um Dynamik zu erhalten, bewegt sich weiterhin auf Kurven mit Nulltangenten, die in der ersten Geometrie null sind. Aber im Allgemeinen sind die Pfade von Partikeln in einer Theorie mit zwei Geometrien keine Geodäten. Wieder aus der gleichen Zeitung.

Wir verlangen nicht, dass die Trajektorien, die S in der Finsler-Geometrie extremisieren, mit der Geodäte von zusammenfallen$g_{\alpha\beta}.$Für eine solche Annahme gibt es in unserem Kontext keine physikalische Grundlage: die Metrik$g_{\alpha\beta}$ist für Gravitationsphänomene, während die Finsler-Geometrie für Materiedynamik ist.

Also eine Metrik für die Materie, die der Raumzeit sagt, wie sie sich krümmen soll, und eine andere, die der Materie sagt, wie sie sich bewegt. Und dann können Sie ins Detail gehen, wie sie miteinander verwandt sind.