Ich arbeite an Lorentz-Mannigfaltigkeiten, allgemeiner an Pseudo-Riemann-Mannigfaltigkeiten und Anwendungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Ich kenne die Definitionen von konformen , Killing- und homothetischen Vektorfeldern in Riemannschen Hyperflächen. Sind diese Größen in Pseudo-Riemannschen Hyperflächen in gleicher Weise definiert? Welche physikalische Bedeutung haben diese Größen?
Die Definitionen funktionieren für beliebige Riemannsche Mannigfaltigkeiten (nicht nur Hyperflächen) und verallgemeinern den Pseudo-Riemannschen Fall - schließlich sind sie ziemlich allgemeine Aussagen über die Lie-Ableitung eines Tensorfeldes.
In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es viele interessante Vektorfelder (manchmal Kollineationen genannt), die als infinitesimale Symmetrien geometrischer Strukturen oder physikalischer Größen wie Metrik, Krümmung und Energie-Impuls-Tensoren, Geodäten und Lichtkegel betrachtet werden.
Sie können aus physikalischen Gründen interessant sein oder nur aus technischen Gründen, um die Gleichungen handlicher zu machen.
Unter der Annahme, dass ich nichts vermasselt habe (keine Versprechen), erhalten wir die folgende Karte, in der die Sätze von Vektorfeldern durch Einbeziehung in Beziehung stehen:
Killing
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+-----+-----+
| |
v v
matter homothetic
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+-----+-----+
| |
v v
affine conformal
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+-----+-----+
| |
v v
projective curvature
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+-----+-----+
| |
v v
Ricci Weyl
Killing-Vektorfelder bewahren die Metrik und alle abgeleiteten Strukturen, einschließlich des Energie-Impuls-Tensors unter der Annahme, dass die Einstein-Feldgleichungen gelten. Eine physikalische Anwendung wäre die Definition der Komar-Masse für Raumzeiten mit einem zeitähnlichen Killing-Vektorfeld.
Eine Materiekollineation ist ein Vektorfeld, das Energie-Impuls bewahrt, aber nicht unbedingt irgendeine Geometrie.
Konforme Symmetrien erhalten Winkel und im pseudo-riemannschen Fall insbesondere das Vorzeichen von Skalarprodukten, das für die Lichtkegelstruktur und damit Kausalität relevant ist.
Affine Vektorfelder bewahren Geodäten einschließlich ihrer affinen Parameter (Vielfache der Eigenzeit), während projektive Vektorfelder letztere nicht unbedingt bewahren.
Krümmungskollineationen bewahren den Riemann-Tensor, während Ricci- und Weyl-Kollineationen nur den Ricci- bzw. Weyl-Tensor bewahren.
Bestimmte Anwendungen überlasse ich Leuten, die mehr Wissen haben als ich.
Jerry Schirmer
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