Bondi-Metzner-Sachs (BMS) Symmetrie asymptotisch flacher Raumzeiten

Ich habe angefangen, die BMS-Symmetrie in Verbindung mit dem Artikel zu studieren: http://arxiv.org/abs/1312.2229 und es gibt ein paar seltsame Dinge, die mir aufgefallen sind.

Zunächst einmal weiß ich aus der Lektüre der Originalarbeiten von Bondi, Metzner und Sachs, dass die "BMS-Symmetrie" nur eine zulässige Teilmenge von Koordinatendiffeomorphismen ist, die die asymptotische Ebenheit der Raumzeit intakt lässt. Wenn ich jedoch das obige Papier lese, wird die BMS-Symmetrie in Form eines Vektorfelds Gl. (2.10) und (2.14). Daher meine erste Frage:

Wie erhalte ich aus einer bestimmten Teilmenge von Koordinatendiffeomorphismen (die als Symmetrie betrachtet werden) ein entsprechendes Vektorfeld a'la Killing-Vektor?

Darüber hinaus gehen sie später in der Arbeit von den BMS-Vektorfeldern zu Generatoren der BMS-Symmetrie in Gl. (3.3). Sie erwähnen nicht, wie es geht, also würde ich gerne wissen:

Wie komme ich von Vektorfeldern, die eine Symmetrie charakterisieren, zu einem tatsächlichen Generator der Symmetrie?

Mir ist klar, dass dies ziemlich fortschrittliches Zeug ist. Ich bin für jede Hilfe oder Anregung dankbar!

In der Formel ( 2.10 ) , haben Sie einen Generator für sechs infinitesimale Symmetrien (weil es eine asymptotische SL(2;C)-Symmetrie gibt). ζ z hat 6 Komponenten, und so hat ζ a ∂ a . Jede Komponente stellt einen Symmetriegenerator dar, und die Koeffizienten davor ∂ z , ∂ r , etc ... repräsentieren die Koordinaten eines Killing-Vektors.
Trimok, ja, es gibt 6 verschiedene Vektorfelder (für SL(2,C) plus unendlich viele mehr für die Supertranslationen). Dies sind jedoch keine Killing-Vektoren, da die Transformation keine wirkliche Symmetrie ist, sondern nur die asymptotisch flache Form für die Metrik erhält. Außerdem war meine Frage eher, wie man ausgehend von gegebenen Koordinatendiffeomorphismen auf diese Vektorfelder kommt. Außerdem scheint der Generator (3.3) mit symplektischer Theorie an der Grenze zu tun zu haben, also denke ich, dass es etwas schwieriger ist, ihn zu bekommen.
Ja, die sechs ζ z sind nur asymptotisch S L ( 2 , C ) Vektoren töten. Tötungsvektoren repräsentieren infinitesimale Generatoren von Symmetrien. Beispielsweise hat eine Zeittranslationssymmetrie einen infinitesimalen Generator ∂ 0 , was einem Killing-Vektor entspricht ζ μ = δ 0 μ

Antworten (1)

Die Form der Vektorfelder lässt sich am einfachsten direkt aus den Randbedingungen für asymptotisch flache Raumzeiten ableiten. Siehe zum Beispiel dieses Papier

http://arxiv.org/abs/1001.1541

oder dieses

http://arxiv.org/abs/1106.0213

Infinitesimale Diffeomorphismen wirken über die Lie-Ableitung auf die Metrik L ξ g μ v . Im Fall von BMS benötigen Sie diese Transformation, um die Randbedingungen einzuhalten g μ v , zum Beispiel g u u ≈ − 1 + Ö ( r − 1 ) . Das Vektorfeld sollte also genügen ∇ u ξ u = Ö ( r − 1 ) . Sie können solche Gleichungen für jede Komponente der Metrik und ihre entsprechenden Randbedingungen aufstellen. In jedem Fall fordern Sie, dass das Vektorfeld den "führenden" Minkowski-Teil der Metrik nicht berührt. Dies ist ein System von Differentialgleichungen, die Sie dann lösen können.

Was die Generatoren angeht, wird dies in dem zweiten Artikel behandelt, den ich verlinkt habe. Was Gleichung 3.3 betrifft, können Sie sich dies heuristisch genauso vorstellen wie die ADM-Hamilton-Funktion, gewichtet durch eine Funktion auf der Kugel, die die gleichmäßige Zeitübersetzung in eine Supertranslation umwandelt (die Räume, die Andy untersucht, sind Christodoulou-Klainerman-Räume, für die ich 0 ist ein nicht-singulärer Punkt, und Sie können hoffen, dass er übereinstimmt ich − + zu ich + − durch ich 0 wo der ADM-Hamilton definiert ist). Der Nachweis, dass diese Ladungen quantenmechanisch die richtigen Transformationen erzeugen, ist tatsächlich sehr subtil, wie hier diskutiert wird

http://arxiv.org/abs/1401.7026

Hoffe das hilft.

In der Arbeit arxiv.org/pdf/1106.0213v2.pdf ist in den Gleichungen (2.18)-(2.22) die Wirkung der asymptotischen Killing-Vektoren auf den Lösungsraum angegeben. Sie sagen, diese Ergebnisse "können so ausgearbeitet werden", aber sie sagen nicht, wie es in der Praxis zu tun ist. Vielleicht kannst du mir sagen, was das für eine Berechnung ist? (Es scheint nicht nur eine einfache Lie-Ableitung zu sein, da die Indizes von beispielsweise C_{AB} nicht über {u,r,A}, sondern nur über {A} reichen).
Um beispielsweise das Transformationsgesetz für C_{ab} herzuleiten, berechnen Sie die Lügenableitung der vollen Metrik g_{mu nu}. Dadurch erfahren Sie, wie sich jede Komponente der Metrik transformiert. Dann spezialisiere dich auf die Transformation der {ab}-Komponente und isoliere das Stück linear in r. So transformiert sich C_ab.
Macht Sinn, danke! Ich frage mich, ob ich noch eine Frage stellen darf: In der gleichen Arbeit in Gl. (2.11) geben sie eine Klammer für die Symmetriealgebra. Das erste bisschen mit Y ^ ist nur der einfache Kommutator für die Lie-Algebra von konformen Killing-Vektoren auf 2-Sphären, aber das Ergebnis für T ^ verfügt über zusätzliche Begriffe mit D ¯ EIN Y ich EIN T j . Wissen Sie, woher diese zusätzlichen Begriffe kommen und wie man sie herleitet? (Außerdem modifizieren sie in Gl. (2.16) die Klammer noch mehr, ich frage mich, wie ich überprüfen kann, ob dies genau so und nicht anders lauten sollte?)
2.11 sollte aus der Kompositionsregel für ein semidirektes Produkt ableitbar sein. Ich weiß nicht viel über 2.16, außer dass zum Beispiel bei Brown & Henneaux ähnliche Dinge gemacht werden.
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