Lagrangescher Vektorfeldausdruck

Ich werde alle Berechnungen unter der Annahme der Lagrangian durchführen$\mathcal{L}$wirkt auf eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit$M$. Ich glaube, Sie werden die Verallgemeinerung absolut trivial finden, und das wird mir das Schreiben von Tonnen von Summen ersparen.

Lassen

$$\begin{equation} \mathcal{L}: \mathbb{R} \times T M \rightarrow \mathbb{R} \end{equation}$$

ein Lagrangianer sein$T M$, mit Zeit in$\mathbb{R}$. Euler-Lagrange-Gleichungen sagen das aus

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}(q,\dot{q};t) - \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q};t) = 0 . \end{equation}$$

Nimm nun die totale Ableitung und entwickle sie:

$$\begin{equation} \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}}(q,\dot{q};t) = \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q} \partial \dot{q}} \frac{d \dot{q}}{dt} + \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial q \partial \dot{q}} \frac{d q}{dt} + \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial t \partial \dot{q}} \frac{d t}{dt} . \end{equation}$$

Wenn wir das in EL-Gleichungen einsetzen und neu organisieren, erhalten wir

$$\begin{equation} \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q} \partial \dot{q}} \frac{d \dot{q}}{dt}= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial q \partial \dot{q}} \frac{d q}{dt} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial t \partial \dot{q}} . \end{equation}$$

Jetzt muss ich die zweite Ableitung von annehmen$\mathcal{L}$bezüglich der Geschwindigkeit von Null verschieden ist. Dies bedeutet auf höheren Dimensionen, dass der Jacobi der abgeleiteten Abbildung von$\mathcal{L}$muss nichtsingulär sein. Wenn das stimmt, können wir das sagen

$$\begin{equation} \ddot{q} = \left[\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q} \partial \dot{q}}\right]^{-1}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial q \partial \dot{q}} \frac{d q}{dt} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial t \partial \dot{q}} \right) . \end{equation}$$

Nun, wie Sie sagten, das Feld generiert von$\mathcal{L}$Ist

$$\begin{equation} X_\mathcal{L} = \dot{q} \frac{d}{dq} + \ddot{q} \frac{d}{d \dot{q}} , \end{equation}$$

und durch Ersetzen dessen, was wir gefunden haben, gelangen wir zu

$$\begin{equation} X_\mathcal{L} = \dot{q} \frac{d}{dq} + \left[\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{q} \partial \dot{q}}\right]^{-1}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial q \partial \dot{q}} \frac{d q}{dt} - \frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial t \partial \dot{q}} \right) \frac{d}{d \dot{q}} , \end{equation}$$

das ist eine 1-D-Version von dem, was Sie gepostet haben.