Was genau ist die Verbindung zwischen den Identitäten Jacobi und Bianchi?

Während ich einige grundlegende Feldtheorien überprüfte, stieß ich erneut auf die Bianchi-Identität (im Zusammenhang mit Elektromagnetismus). Es kann geschrieben werden als

∂ [ λ ∂ [ μ A v ] ] = 0.
Hier, A v ist natürlich das elektromagnetische Potential. Diese Formel erinnert sofort an die Jacobi-Identität:
[ A , [ B , C ] ] + [ B , [ C , A ] ] + [ C , [ A , B ] ] = 0.

Dies ist noch deutlicher in der Allgemeinen Relativitätstheorie, wo wir es haben

∇ [ λ R ρ σ ] μ v ,
die wir umschreiben können, wobei wir uns an die Definition des Riemann-Tensors in Bezug auf den Kommutator kovarianter Ableitungen erinnern, als
[ [ ∇ λ , ∇ ρ ] , ∇ σ ] + [ [ ∇ ρ , ∇ σ ] , ∇ λ ] + [ [ ∇ σ , ∇ λ ] , ∇ ρ ] = 0.
Das alles sieht so aus, als ob hier eine tiefgreifende Verbindung bestehen sollte, aber ich bin nicht in der Lage, sie genau zu bestimmen. Vielleicht kann einer der Experten hier das genauer machen? Ich würde gerne mehr darüber erfahren. Alle Kommentare sind sehr willkommen. Ich wäre auch dankbar, wenn jemand (mehr) geeignete Tags zur Verwendung vorschlagen könnte.

Ich hatte die gleiche Frage, habe sie aber letztendlich nicht gestellt. Ich denke, der Grund hängt damit zusammen, dass die Bianchi-Identität von der Jacobi-Identität abgeleitet werden kann: diffgeom.subwiki.org/wiki/…
Fair genug, aber ehrlich gesagt hatte ich auf eine "tiefere" Antwort gehofft. Vielleicht suche ich nach etwas, das einfach nicht da ist, aber es fühlt sich so an, als ob es eine tiefe Verbindung zwischen zwei scheinbar sehr unterschiedlichen Dingen geben sollte. Vielleicht etwas, das mit den geometrischen Eigenschaften der Felder zusammenhängt?
@jinawee: OP spricht über die zweite (differenzielle) Bianchi-Identität ∇ [ λ R ρ σ ] μ v

Antworten (2)

I) Die Beweise sowohl der ersten (algebraischen) Bianchi-Identität als auch der zweiten (differentiellen) Bianchi-Identität verwenden diese Verbindung entscheidend ∇ ist torsionsfrei , also sind sie nicht vollständig Folgen der Jacobi-Identität . Beweise der Bianchi-Identitäten sind z. 1.

II) Die zweite Bianchi-Identität kann nicht nur für eine Tangentialbündelverbindung, sondern auch für Vektorbündelverbindungen formuliert werden.

III) Die Lie-Klammer in den einschlägigen Jacobi-Identitäten ist die Kommutator-Klammer [ A , B ] := A ∘ B − B ∘ A . Die Jacobi-Identität folgt, weil die Operatorzusammensetzung " ∘ “ ist assoziativ.

IV) Im Zusammenhang mit der Yang-Mills-Theorie und EM folgt die zweite Bianchi-Identität aus dem Eichpotential A μ und die Feldstärke F μ v kann als (Teil von) einer kovarianten Ableitung bzw. einem entsprechenden Krümmungstensor angesehen werden.

Verweise:

  1. M. Nakahara, Geometrie, Topologie und Physik, Abschnitt 7.4.

Hier ist ein Beweis der Bianchi-Identität unter Verwendung der Jacobi-Identität: if we denote by F die Krümmung der Verbindung A , dann lokal

F = D A + 1 2 [ A , A ]
und deshalb
D A F = D F + [ A , F ] = D ( 1 2 [ A , A ] ) + [ A , D A ] = 0.
Wo [ A , [ A , A ] ist wegen der Jacobi-Identität null.

Was genau ist die Verbindung zwischen den Identitäten Jacobi und Bianchi?
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