Dumme Frage zur "vollständigen" abstrakten Struktur einer Raumzeit

Meine Frage ist einfach. Betrachten Sie dann einen Vektorraum:

v ≡ [ v , ( K , + K , ⋅ K ) , ⊞ v , ⊡ v ]

Wo v ist eine nicht leere Menge von Elementen, ( K , + K , ⋅ K ) eine andere algebrische Struktur namens Feld; ⊞ v Und ⊡ v sind zwei binäre Operationen, die als Summe von Vektoren bzw. Skalarmultiplikation bezeichnet werden. Rechts.

Nun ist es in Grundkursen durchaus üblich, eine Raumzeit als „die Menge aller Ereignisse“ zu definieren. Einführungs-/Aufbaukurse, in denen man auf Definitionen für eine Raumzeit wie bei Naber stoßen könnte (Raumzeit und Singularitäten):

Eine Raumzeit ist ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum v auf dem eine symmetrische bilineare Form definiert ist G

Dann lautet eine Verallgemeinerung:

( M , G )

Wo M ist die (gekrümmte) Mannigfaltigkeit und G ist das darauf definierte metrische Tensorfeld.

Aber vielleicht ist diese Definition kurz, ich meine, wir haben vielleicht noch ein paar andere Felder in der Raumzeit definiert. Wie:

( M , G , ∇ )

Wo ∇ ist der eigentliche Begriff der "Änderungsrate": die Verbindung (meist Levi-Civita-Verbindung) definiert. Ich vermute, dass es einige andere Felder gibt, und ich würde gerne wissen, in welchen die gesamte mathematische Struktur einer Raumzeit zu sehen ist (wie der Vektorraum ein 4-Uple ist und auf diesem aufhört). Eine Art Struktur wie:

( M , G , ∇ , S , N , B . . . )

Wo S , N , B ... Sind?

Die Raumzeit ist kein Vektorraum...
Vielleicht ... Verbindung, Torsionstensor, diese Ableitungen, die irgendwie orthogonal sind (ich erinnere mich nicht an den Namen, denke, einer von ihnen sieht aus wie D ∇ ), vielleicht müssen Sie einige Gruppen für Gruppenaktionen hinzufügen (Lügengruppen? Lorentz-Gruppe?), ...? Faserbündel, Rahmenbündel? Vielleicht brauchst du auch noch ein paar andere Algebren...
Wenn Sie die Levi-Civita-Verbindung haben, dann haben Sie sich einer Welt verschrieben, in der die Torsion null ist ... Torsion ist nur eine der Möglichkeiten, warum die Definition der Verbindung mehrdeutig ist. Die einzige große Sache, die ich hier vermisse, ist ein Orientierungstensor ϵ A B C D = ϵ [ A B C D ] . Ich glaube nicht, dass man diesem Bild den eigentlichen Stress-Energie-Tensor hinzufügen würde, und die anderen Felder, die Sie in Bezug auf die Raumzeit betrachten möchten, wären vermutlich nicht Teil ihrer Definition.
Wenn Sie klassische Mechanik an diesem Krümmer machen wollen, sollten Sie das 'Jet-Bundle' hinzufügen.
@CRDrost: Nein, die Orientierung sollte aus zwei Gründen nicht enthalten sein. (1) Es ist nicht Teil der beobachtbaren Struktur der Raumzeit. (2) Nicht alle Raumzeiten sind orientierbar.

Antworten (2)

Eine Raumzeit in ihrer allgemeinsten Form wird normalerweise als Multiplett geschrieben ( M , A , G , ∇ ) , mit

  • M ist ein Parakompakt, Hausdorff-Mannigfaltigkeit, von Dimension N ≥ 2 , die eine Lorentz-Metrik zulassen kann
  • Eine glatte Struktur A auf diesem Verteiler (dies ist im Allgemeinen nicht wirklich wichtig, da die glatte Struktur normalerweise entweder einzigartig ist oder es einen "Standard" gibt)
  • Eine Lorentzsche Metrik G
  • Eine Verbindung, die im Allgemeinen die Levi-Civitta-Verbindung ist (torsionsfrei und metrisch kompatibel)

Es gibt viele Strukturen, die man einer Raumzeit zusätzlich hinzufügen kann, aber diese stammen entweder aus den ersten vier, gelten nicht generell für alle Raumzeiten oder hängen von der jeweiligen Theorie ab. Hier sind ein paar bemerkenswerte:

  • Eine Vielzahl von Faserbündeln sind in GR nützlich, wie z. B. das Tangentialbündel ( T M ), Kotangensbündel ( T ∗ M ), Tensorbündel, Grassmannbündel, Rahmenbündel ( L M oder F M ), orthonormales Rahmenbündel ( Ö M ), metrisches Bündel, Clifford-Bündel, Spin-Bündel usw. usw.
  • Eine Zeitorientierung (normalerweise T oder τ oder irgendeine Variante), die normalerweise als zeitähnliches Vektorfeld definiert wird. Nicht alle Raumzeiten lassen einen zu, aber die meisten vernünftigen tun es.
  • Eine raumzeitliche Orientierung ( η oder ε ), was eine nirgendwo verschwindende Stetigkeit ist N -Form, definiert, wenn die Raumzeit-Mannigfaltigkeit orientierbar ist.
  • Eine kausale Struktur, die vom metrischen Tensor herrührt. Betrachten wir die Mannigfaltigkeit M als Satz X , dann ist die kausale Struktur eine partielle Ordnung ( X , ≪ , ≤ , → )
  • Eine Spinstruktur, wenn alle Bedingungen erfüllt sind.
  • Eine Vielzahl von Materiefeldern, ausgedrückt durch Vektorbündel, Eichfelder aus Hauptbündeln sowie das Jet-Bündel und das Legendre-Bündel für diese Felder, auf denen Berechnungen durchgeführt werden können.
  • Erweiterungen der Raumzeit um ihre Grenzen. Es gibt unzählige Strukturen, die Sie dafür verwenden können, wie z. B. die GKP-Methode.

Ich könnte weiter und weiter gehen, von den verschiedenen Topologien, die man der Raumzeit auferlegen kann (wie die Alexandrov-Topologie oder C 0 Topologie), die Schleifenräume für Kurven oder zeitähnliche Kurven, Zeitfunktionen, Blätterungen usw. usw. Aber die ersten vier Dinge (und Materiefelder, wenn wir sie betrachten) reichen aus, um all dies später abzuleiten.

Es tut mir leid, aber dies ist ein großes Thema. So viel kann ich Ihnen sagen: Zunächst einmal ist die Raumzeit kein Vektorraum. Es ist eine Mannigfaltigkeit, eine 4d-Mannigfaltigkeit, die mit Topologie ausgestattet ist. Es ist auch mit einer Reihe von Koordinatenkarten ausgestattet, die als Diagramme bezeichnet werden. Ein vollständiger Satz solcher Karten, der die Mannigfaltigkeit abdeckt, wird Atlas genannt. Es ist auch mit einem Anschluss ausgestattet. Aufgrund unserer Wahl der Definition einer kürzesten oder, wie man es ausdrückt, stationären Kurve, die mit der Definition einer autoparallelen Kurve zusammenfällt, entspricht dies einer Wahl der Metrik g. Außerdem muss diese Mannigfaltigkeit, die wir Raumzeit nennen, torsionsfrei sein. Es ist also eine 4-d-Mannigfaltigkeit (M, o, A, g), wobei o die Topologie und A der Atlas ist. Kleines g ist die Metrik, aber stattdessen können wir Verbindung schreiben. M steht für mannigfaltig. Um weiter über Physik zu sprechen, Sie müssen in jedem Punkt Ihrer Raumzeit einen Tangentenvektorraum oder allgemeiner ein Tangentenbündel definieren. Danach wird auch ein Kotangensbündel benötigt. Dann können Sie ein Vektorfeld als Abschnitt eines Tangentenbündels definieren. Um über Symmetrie zu sprechen, müssen Sie Push-Forward- und Pull-Back-Karten, einen Fluss eines Vektorfelds und einen Begriff der Vollständigkeit eines Vektorfelds definieren. Außerdem müssen Sie eine Lie-Algebra von Vektorfeldern und eine Lie-Ableitung definieren.

Dies scheint mir nicht auf die Frage zu reagieren. Erstens hat das OP bereits klar von einem Vektorraum zu einer Mannigfaltigkeit verallgemeinert und weiß genau, was eine Mannigfaltigkeit (und eine Wahl der Metrik und eine Wahl der Verbindung) ist. Er fragt, welche zusätzliche Struktur von hier aus hinzugefügt werden soll (z. B. Faserbündel, mit denen wir das EM-Feld modellieren können usw.). Es gibt wahrscheinlich keine gute Antwort; unterschiedliche Autoren werden für unterschiedliche Zwecke unterschiedliche Strukturen auferlegen wollen. Aber sicherlich trägt es nichts dazu, nur zu wiederholen, was das OP bereits weiß.
Nun, er fragte nach der Struktur des Verteilers selbst. Erstens wird nabla nicht benötigt, wenn g gegeben ist, und zweitens benötigen Sie eine Auswahl an Topologien. Dinge, die das OP nicht erwähnt hat, also dachte ich, es könnte hilfreich sein. Außerdem sehe ich nicht, welche andere Struktur Sie brauchen, um die Raumzeit-Mannigfaltigkeit zu beschreiben? Natürlich braucht man Tangentenräume zu dieser Mannigfaltigkeit, um andere Dinge zu beschreiben, aber nicht, um die Raumzeit selbst zu beschreiben. Auch wenn er vom Vektorraum auf eine Mannigfaltigkeit verallgemeinert hat, glaube ich nicht, dass er sich dessen bewusst ist, da er sich später wieder auf eine Raumzeit als Vektorraum bezieht.
Und außerdem sind zwei Downvotes genug Leute :-)
Okay, 3 Minuspunkte.
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