Was ist eine Mannigfaltigkeit?

Was ist eine Mannigfaltigkeit?

Eine Mannigfaltigkeit ist ein Begriff aus der Mathematik, der a priori nichts mit Physik zu tun hat.

Die Idee ist folgende: Wahrscheinlich hast du in der Schule Euklidische Geometrie studiert, also weißt du, wie man Dreiecke usw. auf ein flaches Blatt Papier zeichnet. Im Gegensatz zum allgemeinen Sprachgebrauch meinen wir mit „Leerzeichen“ alles, was eine Anzahl von Punkten hat. Die Euklidische Ebene ($\mathbb{R}^2$) oder Ihr Blatt Papier sind ein "Raum", der 3D-Raum um Sie herum ist ein "Raum" oder die Oberfläche der Welt ist ein "Raum" (Vorbehalt: Eigentlich möchte ich einen topologischen Raum definieren, der keiner ist "alles mit einer Punktzahl", aber lassen wir uns hier nicht ablenken).

Wenn Sie sich nun die Oberfläche der Kugel ansehen, ist das definitiv kein euklidischer Raum: In der euklidischen Geometrie beträgt die Summe aller Winkel in einem Dreieck 180°, was für die Oberfläche einer Kugel, einer Kugel, nicht gilt. Betrachtet man jedoch nur einen kleinen Fleck der Kugel, stimmt es ungefähr. Zum Beispiel nehmen Sie die Erde als flach wahr, obwohl sie es nicht ist, wenn Sie von oben schauen.

Eine Mannigfaltigkeit ist jeder „Raum“ mit dieser Eigenschaft: Er sieht lokal wie eine euklidische Ebene aus. Der Kreis ist eine Mannigfaltigkeit (er sieht lokal wie eine Linie aus, was der eindimensionale euklidische Raum ist$\mathbb{R}$), die Kugel (sie sieht lokal wie ein Flugzeug aus), Ihr Zimmer (sie sieht aus wie ein euklidischer 3D-Raum$\mathbb{R}^3$lokal - vergessen Sie hier die Grenzen) usw.

Das Coole an Mannigfaltigkeiten ist, dass diese Eigenschaft, lokal wie der euklidische Raum auszusehen, es ermöglicht, sie vollständig nur mit euklidischen Räumen zu beschreiben. Da wir den euklidischen Raum sehr gut kennen, ist das gut so. Sie können zum Beispiel eine Karte von England nehmen – da das Wort „Karte“ in der Mathematik anders verwendet wird, nennen wir es „Diagramm“. Dies ist eine sehr gute Art, England zu beschreiben, obwohl es wirklich Teil eines runden Objekts ist. Sie können viele dieser Karten zusammenfügen, um einen ganzen Atlas zu erhalten, der die Erde abdeckt, der Ihnen eine schöne Beschreibung der Erde gibt, indem Sie nur 2D-Blätter Papier verwenden. Offensichtlich benötigen Sie mehr als eine Karte, um die ganze Erde abzudecken, ohne bestimmte Punkte zu verdoppeln, und wenn die Karte ein sehr großes Gebiet abdeckt, sieht sie natürlich an einigen Stellen sehr verzerrt aus.

Und das ist ein Vielfaches. Es ist ein Bereich, in dem Sie einen Atlas von Diagrammen erstellen können, von denen jedes ein (Teil eines) euklidischen Raums ist, der einen Teil des Raums beschreibt. Okay, nicht ganz: Was Sie von dem Verteiler erwarten, ist, dass Sie mit einer netten Operation von Diagramm zu Diagramm gelangen können. Zum Beispiel überlappen sich in Ihrem Erdatlas einige Karten, und Punkte in der Überlappung, die auf einer Karte dicht beieinander liegen, werden auf der anderen Karte dicht beieinander liegen. Mit anderen Worten, Sie haben eine Karte zwischen den überlappenden Regionen zweier beliebiger Diagramme, und diese Karte ist kontinuierlich (an diesem Punkt erhalten Sie eine topologische Mannigfaltigkeit) oder sogar differenzierbar (an diesem Punkt erhalten Sie eine differenzierbare Mannigfaltigkeit).

Inzwischen sollte es Ihnen klar sein, dass es möglich sein sollte zu sagen, dass der Raum um uns herum eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Es scheint vollkommen richtig, es mit zu beschreiben$\mathbb{R}^3$vor Ort, wie Sie es wahrscheinlich in der Schule getan haben. Und so kommen Mannigfaltigkeiten auch in die Relativitätstheorie: Wenn Sie die Zeitdimension hinzufügen, stellt sich heraus, dass Sie den Raum + die Zeit immer noch als vierdimensionale Mannigfaltigkeit modellieren können (das heißt, jedes Diagramm sieht so aus$\mathbb{R}^4$örtlich).

Warum die Raumzeit mit Mannigfaltigkeiten modellieren?

Jetzt wissen Sie, was eine Mannigfaltigkeit ist, aber selbst wenn Sie eine Vorstellung davon bekommen, wie Sie die Raumzeit als Mannigfaltigkeit modellieren könnten , sagt Ihnen das nicht wirklich, warum Sie die Raumzeit als Mannigfaltigkeit modellieren sollten . Denn nur weil man etwas kann, ist es nicht immer besonders nützlich.

Betrachten Sie das folgende Problem: Wenn zwei Punkte gegeben sind, was ist ihre kürzeste Entfernung?

[Nebenbei: Bevor ich diese Frage beantworte, möchte ich erwähnen, dass Sie, obwohl ich zuvor über Dinge wie Abstände und Winkel gesprochen habe, diese Konzepte nicht unbedingt auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit haben müssen, da es möglicherweise unmöglich ist, so etwas für Ihr zugrunde liegendes zu definieren " Raum", aber wenn Sie eine "differenzierbare Mannigfaltigkeit" haben (was bedeutet, dass die Funktionen, die Sie von Diagramm zu Diagramm in den überlappenden Regionen bringen, differenzierbar sind), dann haben Sie dies. An diesem Punkt wird es möglich, über Entfernungen zu sprechen. Für die Physik, insbesondere die allgemeine Relativitätstheorie, haben Sie immer eine Vorstellung von Entfernungen und Winkeln.]

Zurück zum Problem der kürzesten Entfernung: In$\mathbb{R}^n$, die Antwort ist ziemlich einfach. Der kleinste Weg zwischen zwei Linien ist die gerade Linie zwischen ihnen. Aber auf einer Kugel? Um dies zu definieren, benötigen Sie zunächst einen Abstand auf der Kugel. Aber wie geht das? Da wüsste ich schon, was die kürzeste Distanz ist!

Hier ist eine Idee: Wenn Sie beispielsweise einen Flug von London nach Buenos Aires in Betracht ziehen, was ist der „kürzeste Weg“? Nun, die Erde ist für manche mehr oder weniger eine Kugel$\mathbb{R}^3$. Das ist ein euklidischer Raum, also wissen Sie, wie man dort Entfernungen berechnet, also ist der kürzeste Weg nur die kleinste Entfernung aller möglichen Wege. Einfach. Es gibt jedoch ein Problem: Dies funktioniert nur, weil wir einen dreidimensionalen Umgebungsraum haben. Aber das muss nicht der Fall sein – tatsächlich scheint unser eigener „Raum“ nicht in einen dimensionalen Hyperraum mit vier räumlichen Dimensionen (oder wie auch immer Sie ihn nennen wollen) eingebettet zu sein.

Hier ist eine andere Idee: Ihre Mannigfaltigkeit sieht lokal wie ein euklidischer Raum aus, in dem die Antwort einfach ist. Was wäre, wenn Sie Ihre Distanz nur lokal definieren und dann irgendwie zusammenflicken, damit es Sinn macht?

Das Schöne ist, dass Ihnen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit die Werkzeuge dafür an die Hand gibt. Auf diese Weise können Sie ein Abstandsmaß (Riemannsche Metrik genannt) erstellen, mit dem Sie kürzeste Wege zwischen Punkten auch ohne Umgebungsräume berechnen können. Aber es hört hier nicht auf. Was sind parallele Linien? Was passiert mit einem lokalen Koordinatensystem? Wenn Sie zum Beispiel mit Ihrem Flugzeug fliegen, scheint es, dass Sie immer nach vorne schauen, aber Ihr Blickfeld verläuft nicht in einer geraden Linie. Wie ändert sich Ihr Blickfeld, wenn Sie einen Weg entlang gehen? Sobald Sie Ihre Metrik haben, ist alles ganz einfach.

Es sollte klar sein, dass all diese Fragen Fragen sind, die Sie über den Sie umgebenden Raum (Zeit) stellen können - und Sie möchten die Antwort darauf! Es scheint auch selbstverständlich, dass Sie diese Fragen für unser Universum eigentlich beantworten können sollten.

Also, was ist die Metrik unseres Raums? Können wir es einfach lokal zusammenfügen? Nun, wir könnten, aber es wird nicht einzigartig sein, also wie kann man entscheiden, was die richtige Metrik ist? Genau darum geht es in der Allgemeinen Relativitätstheorie: Die Grundgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie sagen uns, wie das Abstandsmaß in der Raumzeit mit Materie und Energie zusammenhängt.

Ein bisschen mehr über Topologie (falls Sie interessiert sind)

Wenn Sie schließlich mehr über den Aspekt „Raum“ erfahren möchten, den ich oben ausgelassen habe, schauen wir uns das genauer an. Was Sie wollen, ist nicht irgendeine Menge von Punkten, sondern eine Menge von Punkten, die Nachbarschaften für jeden Punkt hat. Sie können sich eine Nachbarschaft eines Punktes als eine Anzahl von Punkten vorstellen, die irgendwie „in der Nähe“ des Punktes liegen. Genau wie im wirklichen Leben könnte Ihre Nachbarschaft sehr groß sein, sie könnte den gesamten Raum umfassen, sie muss nicht einmal zusammenhängend sein, aber sie muss irgendwie immer die Punkte unmittelbar "neben" Ihnen umfassen. In der Tat, wenn Sie ein Entfernungsmaß wie die übliche euklidische Entfernung haben$\mathbb{R}^n$, dann ist eine Menge von Nachbarschaften durch alle Kugeln aller Größen um jeden beliebigen Punkt gegeben. Sie können diese Nachbarschaften jedoch auch ohne ein Entfernungsmaß definieren, aber Sie können immer noch irgendwie an "Nähe" denken.

Diese Leerzeichen reichen aus, um "kontinuierliche Funktionen" zu definieren, bei denen eine Funktion an einem Punkt stetig ist, wenn alle Punkte "in der Nähe" dieses Punktes (d.h. in einer Nachbarschaft) nach der Abbildung "in der Nähe" des Punktes bleiben (d.h. sie sind wieder einer Nachbarschaft zugeordnet). Normalerweise und besonders für alle Mannigfaltigkeiten, über die wir wirklich in der Relativitätstheorie sprechen wollen, würden Sie den Räumen einige weitere Bedingungen hinzufügen, um schönere Eigenschaften zu haben, aber wenn Sie darüber etwas wissen möchten, schlage ich vor, damit zu beginnen, die wahren mathematischen Definitionen zu lernen. Es gibt viele andere Antworten, die die Grundlagen abdecken!

Um das Konzept einer glatten Mannigfaltigkeit einzuführen, werde ich zuerst topologische Mannigfaltigkeiten einführen .

Topologische Mannigfaltigkeit

Das sagen wir$M$, ein topologischer Raum, ist auch eine topologische Mannigfaltigkeit , wenn

• Für irgendwelche zwei Punkte wähle ich, sagen wir$p,q \in M$, gibt es disjunkte offene Teilmengen$U$und$V$des Raumes$M$so dass$p \in U$und$q\in V$. Mit anderen Worten, sie können durch Nachbarschaften getrennt werden.
• Es gibt eine abzählbare Basis für die Topologie von$M$, was bedeutet, dass wir jede offene Menge in konstruieren können$M$aus der Vereinigung einer Reihe anderer offener Mengen, die Basis genannt werden$B$, und dass diese Basis abzählbar ist.
• Entscheidend ist jeder Punkt$p \in M$hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ist$\mathbb{R}^n$. Mit anderen Worten, es gibt eine kontinuierliche Funktion mit kontinuierlicher Umkehrung von dieser Nachbarschaft zu einer offenen Menge$\mathbb R^n$und das meinen wir mit lokal euklidisch.

Um es noch einmal zu betonen, wir können jeden auswählen$p\in M$und eine offene Menge$U \subset M$enthält$p$, und wir können garantiert einen Homöomorphismus konstruieren$\psi : U \to \tilde U$wo$\tilde U \subset \mathbb R^n$. Darüber hinaus ist diese Definition von lokal euklidisch völlig gleichwertig mit der Fähigkeit, einen Homöomorphismus zu einem offenen Ball-In zu konstruieren$\mathbb R^n$oder$\mathbb R^n$selbst. Die ersten beiden Anforderungen sind eher formal, und für das Folgende ist die dritte entscheidend zu verstehen.

Diagramme

Um mit der Konstruktion des Begriffs einer glatten Mannigfaltigkeit fortzufahren, führen wir Koordinatendiagramme ein . Insbesondere ist ein Koordinatendiagramm ein Paar$(U, \varphi)$wo$U \subset M$ist eine offene Menge und$\varphi(U) \subset \mathbb R^n$ist der Homöomorphismus, von dem wir gesprochen haben$\mathbb R^n$.

Die Karte$\varphi$ist eine lokale Koordinatenkarte, deren Komponenten Koordinaten und sind$U$ist die Koordinatennachbarschaft.

Glatte Struktur

Um eine solche Mannigfaltigkeit berechnen zu können, müssen wir ihr eine glatte Struktur hinzufügen. Wenn$(U,\varphi)$und$(V, \psi)$sind zwei Diagramme so, dass$U \cap V \neq \varnothing$, dann die Karte

die Übergangskarte genannt wird , ist ein Homöomorphismus. Die beiden Diagramme sind reibungslos kompatibel, wenn diese Übergangskarte ein Diffeomorphismus ist, dh alle Komponenten haben partielle Ableitungen zu allen Ordnungen, bijektiv und die Inverse stetig ist.

Wir können einen Atlas definieren $\mathcal A$als Sammlung von Karten, die die gesamte Mannigfaltigkeit abdecken, so dass jeder Punkt zum Bereich einer dieser Karten gehören muss. Beachten Sie, dass wir nicht verlangen, dass ein Koordinatensystem die gesamte Mannigfaltigkeit abdeckt.

Sie können sich vorstellen, dass wir jetzt anrufen werden$\mathcal A$ein glatter Atlas , wenn alle Karten wie oben definiert glatt kompatibel sind.

Bevor wir zur Pointe kommen, könnten wir einen Verteiler haben$M$die viele glatte Atlanten hat, also wählen wir in der folgenden Definition den maximalen oder denjenigen, der in dem Sinne vollständig ist , dass jede Karte, die glatt kompatibel ist, darin enthalten ist$\mathcal A$.

Eine glatte Mannigfaltigkeit ist somit das Paar$(M, \mathcal A)$, und wir können eine Funktion definieren$f : M \to \mathbb R^n$glatt sein, wenn$f \circ \varphi^{-1}$ist für jedes Diagramm glatt.

Wie modellieren wir die Raumzeit mit Mannigfaltigkeiten?

In der Allgemeinen Relativitätstheorie behandeln wir die Raumzeit als eine Riemannsche Mannigfaltigkeit , was dem Begriff einer glatten Mannigfaltigkeit weitere Einschränkungen auferlegt.

Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit ist mit dem metrischen Tensor ausgestattet$g_p(X,Y)$die zwei Tangentenvektoren nimmt$X,Y \in T_p M$die im Tangentialraum des Punktes liegen$p$, und es gibt uns den Begriff der Länge eines Vektors und des Winkels zwischen Vektoren auf verallgemeinerte Weise.

Die Einsteinschen Feldgleichungen, die Materie mit der als Mannigfaltigkeit modellierten Krümmung der Raumzeit in Beziehung setzen, hängen explizit von dieser Metrik ab$g$.

Die Mannigfaltigkeit ist ein mathematisches Konzept .

In der Mathematik ist eine Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der in der Nähe jedes Punktes lokal dem euklidischen Raum ähnelt. Genauer gesagt, jeder Punkt einer$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zum euklidischen Dimensionsraum ist$n$.

Seine Verwendung ermöglicht Verallgemeinerungen aus den klassischen euklidischen Räumen, und da die Allgemeine Relativitätstheorie durch Konstruktion Raum und Zeit verzerrt, ist eine Mannigfaltigkeit das richtige Wort, um die "Koordinaten" als aus euklidischen Räumen verzerrt zu beschreiben.

Historisch gesehen sind Mannigfaltigkeiten aus der folgenden Idee entstanden.

Wir untersuchen oft verschiedene Oberflächen wie die Kugel oder den Zylinder, indem wir sie in den dreidimensionalen euklidischen Raum stellen und von dort aus die Geometrie studieren. Allerdings gibt es Kuriositäten:

• Kurven haben nicht wirklich eine „innere“ Form, aber es gibt alle Arten von Krümmungen, die sich daraus ergeben, wie wir die Kurve im euklidischen Raum zeichnen!
• Der übliche Zylinder ist eine flache Oberfläche, obwohl man ihn naiv betrachten und denken könnte, dass seine kreisförmige Form bedeutet, dass er gekrümmt ist.
• Wir wissen aus der sphärischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie, dass Formen eine nicht triviale intrinsische Geometrie haben können.

Hier besteht also ein nichttriviales Problem darin, zu unterscheiden, welche Teile der Geometrie der untersuchten Form tatsächlich innewohnen und welche Teile der Geometrie äußerlich sind – Zufälle, wie wir die Form im euklidischen Raum platzieren.

Die Idee einer Mannigfaltigkeit wurde erfunden, um dieses Problem zu lösen – sie bietet eine nützliche Möglichkeit, mit interessanten Formen auf rein intrinsische Weise zu arbeiten, wodurch sichergestellt wird, dass die gesamte Geometrie, die wir auf diese Weise studieren, wirklich der Mannigfaltigkeit innewohnt.

Die zugrunde liegende Idee besteht darin, die Form mit Koordinatendiagrammen abzudecken und die Geometrie mithilfe von Kalkül auf den Koordinatendiagrammen zu beschreiben. Denken Sie an die Verwendung von Karten, um die Erdoberfläche darzustellen.

Nun, für die Physik kommen Mannigfaltigkeiten in völlig entgegengesetzter Weise ins Spiel. Wir haben jahrhundertelange Erfahrung in der Physik mit Koordinatenkarten, und wir wissen, dass das Universum in ausreichend kleinen Maßstäben ungefähr so ​​aussieht, aber die großräumige Topologie des Universums kann durchaus komplizierter sein.

Geben Sie Mannigfaltigkeiten ein, eine vorgefertigte mathematische Theorie darüber, wie Koordinatendiagramme miteinander kombiniert werden können, um einen interessanteren topologischen Raum zu beschreiben.

Auch wenn man sich nicht für interessantere Mannigfaltigkeiten interessiert, kommen sie aufgrund der modernen Mathematik immer noch ins Spiel – Differentialgeometrie ist die Sprache für anspruchsvolle Berechnungen in der Mehrvariablenrechnung, insbesondere wenn geometrische Ideen involviert sind, und die Theorie und Praxis der Differentialgeometrie ist es im Allgemeinen auf Mannigfaltigkeiten entwickelt.

Die allgemeine Definition von an$n$-Mannigfaltigkeit ist: ein topologischer Raum, der dem euklidischen Raum in einer Umgebung jedes Punktes ähnelt (und eine Mannigfaltigkeit ist jeder$n$-Verteiler). Das bedeutet, wenn man einen beliebigen Punkt in der Mannigfaltigkeit nimmt, gibt es immer eine genügend kleine Kugel um den Punkt herum, innerhalb derer der Raum kontinuierlich in einen flachen Raum deformiert werden kann. Ein einfaches Beispiel ist ein Kreis. Das ist ein$1$-Mannigfaltigkeit, denn wenn Sie einen zusammenhängenden Unterraum davon nehmen, können Sie ihn zu einer Linie begradigen (Euklidisch$1$-Leerzeichen), obwohl Sie dies nicht mit dem gesamten Kreis tun können. Dasselbe könnte von jeder einfachen glatten Kurve gesagt werden ("einfach" bedeutet sich nicht selbst schneidend und "glatt" bedeutet differenzierbar). Ähnlich sind die Kugel, der Torus und andere glatte Oberflächen$2$-Verteiler.

Ein subtilerer Punkt ist die Unterscheidung zwischen einer Mannigfaltigkeit und ihrer Einbettung. Ein mächtiges Theorem von Nash zeigt dies für alle$n$-Verteiler$M$, es gibt welche$m\geq n$so dass$M$bettet sich ein$\mathbb{R}^m$. Im abstrakten Sinne könnte man eine Kurve so parametrisieren, dass sie der Definition einer Mannigfaltigkeit genügt, selbst wenn alle ihre Einbettungen darin enthalten sind$\mathbb{R}^2$sich selbst überschneiden (vielleicht bettet es sich ohne Überschneidung ein$\mathbb{R}^3$). Aber eine feste Einbettung einer sich selbst schneidenden Kurve ist technisch gesehen keine Mannigfaltigkeit, weil sie einen Punkt hat, der wie a aussieht$+$(nicht$\mathbb{R}$). Ebenso kann die Klein-Flasche eingebettet werden$\mathbb{R}^4$Als ein$2$-Verteiler, obwohl seine Einbettungen in$\mathbb{R}^3$sind selbstschneidend.

Raumzeit ist$4$-dimensional. Die übliche Anwendung des Mannigfaltigkeitskonzepts passt hierher, wenn wir uns vorstellen, dass sich der räumliche Teil der Raumzeit kontinuierlich über die Zeit verformt. In diesem Modell kann das Universum zu jedem festen Zeitpunkt als ein gedacht werden$3$-Mannigfaltigkeit, aber es muss zusätzliche Einschränkungen erfüllen. Zum einen nehmen wir an, dass das Universum homöomorph und isotrop ist . Zum anderen, wie z$3$-Verteiler muss als Querschnitt sinnvoll sein$4$-dimensionale Struktur.

Das$3$-dimensionale homöomorphe und isotrope Mannigfaltigkeiten sind aufgrund der wegweisenden Arbeiten von Bill Thurston, die in den 1970er Jahren begannen, ein sehr aktives Thema der mathematischen Forschung gewesen. Unter diesen Mannigfaltigkeiten gibt es eine flache (euklidische$3$-Raum), einer mit positiver Krümmung (der$3$-Sphäre), und es gibt unendlich viele hyperbolische Strukturen. Einige Mathematiker glauben, dass der räumliche Teil der Raumzeit mit einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit modelliert werden kann, obwohl dies in der Physik nicht allgemein angenommen wird (siehe unten). In den frühen 80er Jahren entdeckte Jeff Weeks die geschlossene Hyperbel$3$-Mannigfaltigkeit von minimalem Volumen, und einige hofften, dass dies ein Modell für das Universum sei, aber es erfüllte nicht die Anforderungen, um ein räumlicher Querschnitt der Raumzeit zu sein. In jüngerer Zeit vermutete Weeks auf der Grundlage der Daten zur Mikrowellen-Hintergrundstrahlung, dass das korrekte Modell der Poincare-Dodekaederraum ist (wie a$12$-seitiger Würfel, bei dem Sie jedes Mal, wenn Sie durch eine Seite gehen, mit einer gewissen Drehung durch eine andere zurückkommen), was ebenfalls hyperbolisch ist.

Viele Physiker glauben, dass das Universum flach ist, basierend auf unseren Messungen der Krümmung des beobachtbaren Teils davon. Wenn das beobachtbare Universum jedoch ein relativ kleiner Teil des allgemeinen Universums ist (und diese Aussage ist aus meiner Perspektive als auf Topologie spezialisierter Mathematiker voreingenommen), dann sagt uns die Definition einer Mannigfaltigkeit, dass wir erwarten sollten, dass es flach aussieht unabhängig von seiner tatsächlichen topologischen Struktur. Es bleibt ein interessantes Thema, was die Topologie (des räumlichen Teils) des allgemeinen Universums in der Raumzeit als Mannigfaltigkeit ist.

Alternativ könnte man das Universum mit der Zeit als eine betrachten$4$-Mannigfaltigkeit, obwohl diese nicht so gut verstanden werden. Auch in der Physik gibt es höherdimensionale Theorien des Universums. In der Mathematik gibt es keine Beschränkung auf$n\in\mathbb{N}$bei der Definition von ein$n$-Verteiler. Es gibt auch gut entwickelte Theorien unendlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten (z. B. Banach-Mannigfaltigkeiten ), sowie$n\in\mathbb{Q}^+$, dh fraktionaldimensionale Mannigfaltigkeiten (Fraktale), aber diese Konzepte haben weniger mit dem Raumzeitmodell zu tun.

Es gab sehr gute Antworten, und sie haben sehr gut und sowohl konzeptionell als auch genau dargestellt, was eine Mannigfaltigkeit ist, wie sie verwendet werden kann, um einen inhärent gekrümmten Raum zu beschreiben, und wie die Idee der Kontinuität und Unterscheidbarkeit entsteht, indem man alles zusammenfügt die lokalen Charts.

Ich möchte darstellen, wie die Physiker zur 4-dimensionalen Raumzeit gekommen sind. Das Einbeziehen der Zeit war entscheidend und der Ausgangspunkt für die spezielle Relativitätstheorie. Oder anders gesagt, warum es physikalisch sinnvoll war, ein geometrisches Konstrukt und insbesondere die Riemannsche Geometrie zu verwenden, um einen dynamischen Raum und Zeit, Raumzeit, in einer Weise zu modellieren/beschreiben, die mit der speziellen Relativitätstheorie und der Schwerkraft vereinbar ist. Ich bin vielleicht nicht ganz genau in der Geschichte, aber es ist näher am physikalischen Denken. Und es erklärt physikalischer dann, wie Mannigfaltigkeiten oder Riemannsche Geometrie ein geeignetes Konstrukt sind, um die Raumzeit und ihre Dynamik zu beschreiben. Es war nicht einfach eine Riemannsche Entität, sondern eine lebendige dynamische Entität.

Historisch entstand dies in der Physik etwas anders als in der Mathematik, obwohl es im Grunde dasselbe bedeutete, und entwickelte mit der Mathematik dann für die Riemannsche Geometrie ein Schlüsselwerkzeug, um zu den Gleichungen zu gelangen und die Konzepte zu durchdenken. In der Physik entstand die Idee der Raumzeit zuerst mit Einstein, und es war eine flache Raumzeit (obwohl der Name Raumzeit später kam) mit einer Lorentzschen (und flachen) Metrik, die für die Verwendung in der speziellen Relativitätstheorie geeignet war. Es gab zunächst keinen Gedanken daran, dass die Raumzeit bzw. die Zusammenstellung von x-, y-, z- und t-Koordinaten in irgendeiner Weise eine dynamische oder veränderliche Einheit definiert. Es wurde einfach angenommen, dass jeder Trägheitsbeobachter seinen auswählen könnte, und wir hatten die Lorentz-Transformationen.

Einstein (möglicherweise mit anderen Beiträgen, es gibt einige Diskussionen darüber, wie viel) kam durch eine Geschichte, die in verschiedenen Büchern beschrieben wird, zu dem Äquivalenzprinzip, dass eine Gravitationskraft die gleiche Wirkung zu haben scheint, als ob sie sich einfach in einem konstant beschleunigten Bezugssystem befände , und Einstein wurde dann dazu gebracht, die (Pseudo-) Riemannsche Geometrie als eine Möglichkeit zur Beschreibung der Bewegung in Bezug auf Geodäten zu betrachten, und das, was als Raumzeit bekannt wurde, als eine vierdimensionale pseudo-Riemannsche Einheit, wobei die Physik unabhängig von den gewählten Koordinatensystemen ist , dh des Beobachters. Und indem er sah, dass es in der schwachen Feldgrenze und niedrigen Geschwindigkeiten auf die Newtonsche Gravitation und einige andere Dinge reduziert wurde, erhielt er die Feldgleichungen. Er verwendete das vollständige Konstrukt der Riemannschen Geometrie, die zu diesem Zeitpunkt nicht sehr bekannt war, aber vorhanden war. Er kam dazu, weil er etwas unabhängig von Koordinatensystemen beschreiben musste, sei es Trägheit, Beschleunigung oder irgendetwas anderes. Ich weiß nicht, ob es damals das Wort Mannigfaltigkeit dafür gab. Aber die Differenzierbarkeit war Teil eines Riemannschen „Raums“.

Dass Geometrie die Schwerkraft beschreiben kann, ist eine ziemlich tiefe Erkenntnis von Einstein und einigen seiner Kollegen. Es hatte mit dem Äquivalenzprinzip zu tun, das sich im Wesentlichen aus der Äquivalenz von Trägheit (Bewegung, Änderung der Raumzeit) und schwerer Masse (Kraft) ergibt. Diese Äquivalenz gilt für keine der anderen Kräfte, und bisher war es unmöglich, Einsteins Gravitationstheorie mit irgendeiner der anderen Kräfte zu vereinen.

Dies ist meine Nicht-Physiker-Take. Eine Mannigfaltigkeit ist ein gekrümmter Raum, der lokal flach ist. Denken Sie an die Erdoberfläche, die eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit ist (kann mit zwei Koordinaten beschrieben werden - Längen- und Breitengrad). Kleine Flecken der Erdoberfläche können mit euklidischer Geometrie beschrieben werden; größere Bereiche können dies nicht, da diese Geometrie zusammenbricht.

Im Kontext der Relativitätstheorie hat die Mannigfaltigkeit (a) vier Dimensionen (drei räumliche und eine zeitliche) und wird Raumzeit genannt; (b) ist differenzierbar; und (c) wird durch eine als Metrik bezeichnete Funktion beschrieben, die die Zeitdifferenz und den Abstand zwischen infinitesimal nahen Punkten angibt. Unterschiedliche Koordinatensysteme haben unterschiedliche Metriken, die denselben Abstand zwischen infinitesimal nahen Punkten beschreiben. Mithilfe der Metrik können Sie einen Vier-Index-Tensor namens Riemann-Krümmungstensor konstruieren. Genau dann, wenn dieser Tensor Null ist, ist der Raum an diesem Punkt flach, andernfalls ist er gekrümmt.

Die spezielle Relativitätstheorie befasst sich mit flacher Raumzeit (Minkowski-Raumzeit genannt), dh befasst sich mit Situationen, in denen die Auswirkungen der Schwerkraft vernachlässigbar sind. Masse-Energie-Kurven Raumzeit. Freie Körper oder Lichtstrahlen folgen dem kürzesten Weg (auch bekannt als geodätisch) zwischen zwei Punkten in der Raumzeit. Um diesen Pfad zu berechnen, müssen Sie die Metrik kennen. Die beiden gebräuchlichsten Metriken sind die Minkowski-Metrik (die die flache Raumzeit beschreibt) und die Schwarzschild-Metrik (die die Raumzeit um ein kugelsymmetrisches Objekt wie unsere Sonne beschreibt).

Es gibt bereits einige gute Antworten. Ich werde also versuchen, eine kurze Antwort zu schreiben, die nur die Frage ohne detaillierte Diskussionen beantwortet.

Nach der Erfindung der Speziellen Relativitätstheorie versuchte Einstein, eine Lorentz-invariante Gravitationstheorie zu erfinden, jedoch ohne Erfolg. Letztlich wurde das Problem gelöst, indem die Minkowski-Raumzeit durch eine gekrümmte Raumzeit ersetzt wurde, also durch die Geometrisierung der Gravitation. In einer gekrümmten Raumzeit wird die Krümmung durch Energie und Impuls erzeugt (und darauf reagiert).

Eine Mannigfaltigkeit ist eines der grundlegenden Konzepte in der Mathematik, insbesondere der Geometrie. Wir alle kennen den n-dimensionalen euklidischen Raum$\mathbb{R}^n$und die Menge der n-Tupel$(x^1,x^2,...,x^n)$. Der Begriff einer Mannigfaltigkeit fängt die Idee eines Raums ein, der gekrümmt sein und eine komplizierte Topologie haben kann, aber der Topologie von ähnelt$\mathbb{R}^n$in lokalen Regionen. Der gesamte Verteiler wird durch glattes Zusammennähen dieser lokalen Bereiche aufgebaut.

Die vielfältige Struktur bietet somit eine natürliche Umgebung, auf der die Gravitationstheorie basierend auf Einsteins Äquivalenzprinzip aufgebaut werden kann: Die gekrümmte Raumzeit ähnelt einer flachen Raumzeit lokal dort, wo die Gesetze der speziellen Relativitätstheorie gelten.

Eine Mannigfaltigkeit wird in mehreren Schritten definiert:

1. Es ist ein topologischer Raum, der Hausdorff- und zweitabzählbar ist. Das klingt technisch und ist es auch. Aber es bedeutet, dass der Raum kontinuierlich ist, dass wir, wenn wir uns auf einen Punkt konzentrieren, genau einen Punkt sehen und nicht mehrere Punkte, die nahe beieinander (oder sogar weit voneinander entfernt) sind, und dass wir zum Beispiel bestimmte sehr große Räume ausschließen , die lange Linie, die viel, viel länger ist als unser Universum und jedes denkbare Universum.

2. Das ist topologisch gesehen lokal euklidisch. Das bedeutet, wenn wir uns auf kleine Bereiche konzentrieren, sehen diese wie affine Räume aus.

Dies ist die Definition einer topologischen Mannigfaltigkeit. Es lohnt sich, darauf hinzuweisen, dass wir Mannigfaltigkeiten addieren können - dies ist die disjunkte Summe. Wenn wir also beispielsweise zwei Kugeln addieren, erhalten wir genau einen Raum, der aus zwei Kugeln besteht. Wir können auch Mannigfaltigkeiten multiplizieren: Eine Limette multipliziert mit einem Kreis ergibt einen Zylinder, während ein Kreis multipliziert mit einem anderen Kreis einen Torus ergibt. Daher haben wir eine gewisse Arithmetik der Mannigfaltigkeiten.

Normalerweise verlangen wir in der Physik, besonders nach Newtons Entdeckung der Infinitesimalrechnung, nach Glätte.

Zuerst stellen wir fest, dass Mannigfaltigkeiten einen Kartenatlas haben, dies kommt von der zweiten Bedingung. Und daher haben wir Diagrammänderungen, wo sich die Diagramme überlappen. Diese werden Übergangskarten genannt. Diese sind per Definition kontinuierlich, da wir alles in topologischen Begriffen definiert haben.

3. Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit, bei der alle Übergangsabbildungen glatt sind.

Auf ähnliche Weise oder durch zusätzliche Struktur können wir viele andere Mannigfaltigkeiten wie komplexe Mannigfaltigkeiten, parakomplexe Mannigfaltigkeiten, Riemannsche Mannigfaltigkeiten usw. definieren. Es gibt ein ganzes Bestiarium davon ...

Die Raumzeit wird als Riemannsche Mannigfaltigkeit modelliert. Das bedeutet einfach, dass wir lokal eine Metrik haben und so lokal Winkel und Entfernungen messen können. Es war Minkowski, der zuerst vorschlug, dass Raumzeit am besten auf diese Weise gedacht werden sollte, nachdem Einstein die spezielle Relativitätstheorie erfunden hatte. Obwohl Einstein dies zunächst nicht mochte, verließ er sich darauf, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu entwickeln.

Oft ist diese Geometrie in der üblichen Physikersprache versteckt. Beispielsweise wird ein kontravarianter Vektor an einem Punkt durch seine Transformationseigenschaften dort definiert. In der geometrischen Sprache ist dies genau ein Tangentenvektor an diesem Punkt der Raumzeit. Dies ist ein unveränderlicher Begriff.

In unserem eigenen flachen Raum schließt sich ein Parallelogramm. Im gekrümmten Raum muss dies nicht mehr der Fall sein und es liegt ein Mangel vor, der sich an der Krümmung bemisst. Wir können das umdrehen und die Krümmung daran messen, wie sich Parallelogramme nicht schließen (oder schließen).

Riemann spekulierte tatsächlich, dass die Metrik von Raum und Zeit auf kleinen Skalen variieren könnte. Ein Bild, das in Wheelers Raumzeitschaum ausgearbeitet ist. Es war Clifford, der nach der Lektüre von Riemanns These spekulierte, dass alle Kräfte, die zu seiner Zeit Gravitation und Elektromagnetismus sein würden, auf Änderungen der Metrik reduzierbar und daher mit der Krümmung verbunden seien. Seine kühne Hypothese erwies sich als vollkommen richtig, wie spektakulär von Einstein im Fall von GR und weniger spektakulär von einer ganzen Reihe von Theoretikern für den Elektromagnetismus und die schwache und die starke Kraft bestätigt wurde.