Warum kann eine pseudo-riemannsche Metrik keine Topologie definieren?

Es ist einfach falsch, zumindest so geschrieben, wie es steht.

Der Punkt ist, dass die Beziehung zwischen der Topologie und der Metrik komplizierter ist als im Riemannschen Fall, wo die geodätischen Kugeln eine Basis der Topologie bilden$^1$.

Tatsächlich eine (zusammenhängende) Lorentzsche glatte Metrik$g$über die zeitorientierte glatte Mannigfaltigkeit$M$definiert eine Topologie, die gleich bereits vorhanden ist$M$wenn die Raumzeit stark kausal ist.

Fixieren Sie einen Punkt$p\in M$und betrachte alle (glatten) zeitartigen zukunftsgerichteten Kurven durch$p$und bezeichnen mit$L(\gamma)$die Lorentzsche Länge von$\gamma= \gamma(\xi)$,$\xi \in [a,b]$.

$$L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{|g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})|} d \xi$$ Wenn $q \in M$definieren die sogenannte Lorentz-Distanz von $q$aus $p$wie $$\tau(q,p) := \sup \{L(\gamma) \:|\: \mbox{$\gamma$ timelike future-directed from $p$ to $q$}\}$$ Kommt keine zeitähnliche zukunftsgerichtete von $p$zu $q$existiert, $\tau(q,p) :=0$.

Als nächstes definieren$I^+(p) := \{q \in M \:|\: \tau(q,p)>0\}$und$I^-(p) := \{q \in M \:|\: \tau(p,q)>0\}$.

Es ist möglich, die Mengenfamilie zu beweisen$I(p,q):= I^+(p) \cap I^-(q)$(mit der passenden chronologischen Reihenfolge der Argumente) ist eine Grundlage der Topologie von$M$wenn die Raumzeit stark kausal ist [Kronheimer und Penrose (1967)]. (Stark kausal bedeutet, dass jede offene Nachbarschaft$U$jeder Veranstaltung$p\in M$umfasst eine weitere offene Nachbarschaft$V$von$p$so dass$J^+(r) \cap J^-(s) \subset V$wenn$r,s \in V$, Minkski-Raumzeit und alle global hyperbolischen Raumzeiten wie die von Kruskal sind stark kausal.)

Dies ist ein bekanntes Ergebnis der semi-Riemannschen Geometrie (Theorem 4.9 in Global Lorentzian Geometry second edition 1996 by JK Beem, PE Ehrlich, KL Easley)

NACHTRAG . Um auf einen Kommentar zu meiner Antwort zu antworten, angesichts des zitierten Ergebnisses die durch Mengen induzierte Topologie$I(p,q)$ist metrisierbar, da sie mit der natürlichen Topologie der Mannigfaltigkeit übereinstimmt$M$als glatte Mannigfaltigkeit betrachtet, unabhängig von einer (semi)-riemannschen Struktur darauf, die metrisierbar ist. Insbesondere wenn$M$ist die Minkowski-Raumzeit eine Entfernung, die die besagte Topologie erzeugt, kann explizit konstruiert werden:

$$d((t,\vec{x}), (t',\vec{x}')) = ||\vec{x}-\vec{x}'||+c|t-t'|$$ Die Bälle dieser Distanz sind offensichtlich die Sätze $I((t,\vec{x}),(t',\vec{x}'))$. Dieser Abstand hängt offensichtlich von der Wahl des Minkowk-Bezugssystems ab.

---

(1) In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit$M$dessen Metrik mit bezeichnet wird$g$,$d(p,q) = \inf \{ L(\gamma) \:|\: \gamma \mbox{ smooth curve joining $p$ and $q$}\}$wo

$$L(\gamma) := \int_a^b \sqrt{g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})} d \xi$$ ist ein Distanzmachen $M$ein metrischer Raum. Alle offenen Bälle $B_\delta(p):=\{ q\in M \:|\: d(p,q)<\delta\}$, variierend $p\in M$und $\delta \in (0,+\infty)$, bilden eine Basis der in bereits vorhandenen Topologie $M$.