Objektive Richtung der Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie die Koordinaten$x^\mu$wir auf die Mannigfaltigkeit setzen, sind willkürlich und brauchen keine physikalische Interpretation. Aus diesem Grund wird gesagt, dass es in GR keinen objektiven Zeitbegriff gibt. Gleichzeitig existiert jedoch die koordinatenunabhängige Vorstellung von "zeitartigen", "null" und "raumartigen" Vektoren. Bedeutet dies nicht zwangsläufig die Existenz einer objektiven Zeit in Richtung des „zeitähnlichsten“ Vektors?

Betrachten Sie zur Präzisierung eine beliebige Mannigfaltigkeit$(M,g_{\mu\nu})$und wähle darauf eine Riemannsche Metrik$h_{\mu\nu}$. Betrachten Sie alle Vektoren$v^\mu$befriedigend$h_{\mu\nu}v^\mu v^\nu=1$(oder irgendeine Konstante). Einer dieser Vektoren,$u^\mu$, wird minimiert$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu$(unter Verwendung der Konvention$g_{\mu\nu}t^\mu t^\nu<0$für zeitähnlichen Vektor$t^\mu$) und wir nehmen diesen "zeitlichsten" Vektor als Richtung der Zeit. Das Vektorfeld$u^\mu(p)$Auf diese Weise konstruiert, wird eine Familie von Integralkurven erzeugt, die wir unter Verwendung ihrer Pfadlänge parametrisieren. Da die Größe eines Vektors unabhängig von unserer Wahl der Koordinaten ist, ist diese Konstruktion koordinatenunabhängig und stellt somit einen eindeutigen, objektiven Zeitfluss dar.

Wo ist der Fehler in dieser Konstruktion? Ist es möglich, dass dies lediglich der Eigenzeit eines Beobachters entspricht, der in einem bestimmten Tangentialraum ruht, äquivalent dazu, wie die Zeitachse für einen bestimmten Referenzrahmen in der speziellen Relativitätstheorie einzigartig ist?

Ich habe das Gefühl, dass mir etwas Grundlegendes darüber fehlt, wie Koordinaten in der Allgemeinen Relativitätstheorie funktionieren.

EDIT: Meine Frage ist kein Duplikat der hier gestellten . Ich frage speziell nach der Definition einer eindeutigen Zeitrichtung und nicht einfach nach der Suche nach Vektoren, die zeitähnlich sind (was von jedem erfüllt werden würde$v^\mu$wofür$g_{\mu\nu}v^\mu v^\nu<0$).