Warum ist die räumliche konforme Unendlichkeit ein Punkt?

Eine Eigenschaft der räumlichen Unendlichkeit ist, dass alle raumähnlichen Geodäten bei ihr enden. Da räumliche Geodäten unterschiedliche Richtungen haben können, verstehe ich nicht, warum die räumliche Unendlichkeit ein Punkt ist. Es sieht eher wie eine 2-Kugel statt wie ein Punkt aus.

Ich werde weitere Informationen bereitstellen. Wählen wir einen anderen Punkt als die räumliche Unendlichkeit im konformen Diagramm. Normalerweise zeichnet man das winkeltreue Diagramm in einer Ebene oder stellt es auf der Oberfläche eines Zylinders dar. Dieser Punkt auf einer Ebene repräsentiert also eine 2-Kugel. Aber die räumliche Unendlichkeit ist buchstäblich ein Punkt. Warum?

Du musst mehr Kontext geben. Manchmal ist Unendlich ein Punkt, und manchmal sprechen Physiker von einer "Kugel im Unendlichen". Das sind zwei unterschiedliche Konzepte, und nur mit mehr Informationen können wir sagen, von welchem ​​​​Sie sprechen.
Hallo Drake. Ich habe eine Frage verlinkt, von der ich ziemlich sicher bin, dass sie das gleiche Material wie Sie abdeckt. Wenn Sie nicht einverstanden sind, dann schreien Sie und ich werde diese Frage erneut öffnen.
Hallo @JohnRennie. Ich glaube nicht, dass diese 2 Fragen gleich sind. Tatsächlich habe ich in diesem Link eine andere Frage gestellt, ob alle raumähnlichen Kurven im räumlichen Unendlichen enden. Obwohl ich in diesem Link angegeben habe, dass die räumliche Unendlichkeit erreicht ist τ = 0 , ρ = ± π , was wie ein Punkt aussieht, meinte ich nicht, dass eine räumliche Unendlichkeit ein Punkt ist, weil ich 2 Dimensionen unterdrückt habe. Daher denke ich, dass ich in diesem Beitrag eine neue Frage gestellt habe. Bitte öffnen Sie diese Frage. Danke!
Hallo Drake. Wie gewünscht wieder geöffnet!
@AccidentalFourierTransform Die Ein-Punkt-Verdichtung ist normalerweise keine nützliche Verdichtung für die Physik, da der zusätzliche Punkt sehr singulär sein kann. Sie stimmt nur mit der winkeltreuen Kompaktifizierung in einer euklidischen Geometrie überein.
Ich habe ein Kopfgeld ausgesetzt, um Ryan Thorngrens nette Antwort zu belohnen. Ich habe auch eine weniger strenge und visuellere Antwort gepostet. Wenn Sie der Meinung sind, dass beides richtig ist, stimmen Sie bitte seinem zu, was streng ist, damit er das Kopfgeld erhält.
@RyanThorngren Äh, das ist gut zu wissen. Danke für die Info!

Antworten (3)

Tatsächlich ist die Ebene konform mit der durchstochenen Kugel (durch stereografische Projektion) und nicht mit der offenen Scheibe. Dies bedeutet, dass seine konforme Grenze der einzelne Punkt im Unendlichen auf der Kugel ist. Dies ist ein Aspekt des Uniformisierungssatzes in 2 Dimensionen, aber er gilt in allen Dimensionen.

Um zu sehen, warum die Ebene nicht konform zur offenen Scheibe ist, bedenken Sie, dass eine konforme Abbildung von der Ebene zur Scheibe eine begrenzte holomorphe Funktion wäre und daher nach dem Satz von Liouville in der komplexen Analyse konstant wäre.

In höheren Dimensionen folgt es einem anderen Theorem von Liouville . Diese versteckten Winkelkugeln im Penrose-Diagramm, nach denen Sie gefragt haben, werden im Unendlichen auf die Größe Null gestaucht. Beachten Sie, dass die Situation für den Minkowski-Raum anders ist, dessen konforme Kompaktifizierung eine Topologie aufweist S 1 × S D . Im Allgemeinen Signatur ( P , Q ) die Verdichtung hat Topologie S P × S Q . Siehe diese Frage zum Beispiel.

Beachten Sie jedoch, dass in QFT die Kompaktifizierung S 1 × S D ist nicht akzeptabel (da es geschlossene zeitähnliche Kurven enthält), und CFTs leben auf dem Universalcover R × S D .

Es mag umständlich oder widersprüchlich erscheinen, dass in einem Penrose-Diagramm ICH + Und ICH − werden als Linien dargestellt (die dreidimensionale Dinge darstellen), während ich 0 , ich + , Und ich − sind Punkte (die 2-Sphären darstellen). Warum das eigentlich sinnvoll ist, zeigt die Abbildung.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Bei einem endlichen Bereich der Raumzeit S können wir einen Punkt wie P finden, der in Bezug auf den gesamten Bereich raumartig ist, und einen Punkt wie Q, der in Bezug auf den gesamten Bereich zeitartig ist. Es ist nicht möglich, einen Punkt zu finden, der in Bezug auf jeden Punkt S lichtähnlich ist.

Dies ist offensichtlich kein strenges Argument wie das von Ryan Thorngren, aber hoffentlich ist es als Ergänzung zu dieser Antwort hilfreich, um Intuition aufzubauen. Bitte stimmen Sie dieser Antwort nicht zu, ohne seine zu werten, da seine strenger ist und das Kopfgeld verdient.

Lassen Sie mich meine Frage beantworten.

Nach der Definition der winkeltreuen Ebenheit ∇ A Ω | ich 0 = 0 , Wo Ω ist der konforme Faktor, und ich 0 ist die räumliche Unendlichkeit. Die räumliche Unendlichkeit ist also singulär, und ich denke, das ist der Grund, warum die Leute denken, dass die räumliche Unendlichkeit ein Punkt ist.

Aber die räumliche Unendlichkeit als Punkt zu haben, ist nur eine Wahl. Wenn Sie versuchen, diese Wahl zu begründen, sollten Sie Ihre Antwort erweitern.
@Timaeus Warum entscheiden sich die Leute dafür, dass die räumliche Unendlichkeit ein Punkt ist? Um die Minkowski-Raumzeit konform zu verdichten, verwenden wir diesen konformen Faktor Ω = 2 cos ⁡ T + R 2 cos ⁡ T − R 2 und die Metrik wird D S ~ 2 = − D T 2 + D R 2 + Sünde 2 ⁡ R ( D θ 2 + Sünde 2 ⁡ θ D ϕ 2 ) . Die räumliche Unendlichkeit liegt bei T = 0 , R = π das ist ein Pol auf S 3 und eine Koordinatensingularität. So scheint mir, dass diese räumliche Unendlichkeit immer noch eine ist S 2 . Dann wollen die Leute, dass die räumliche Unendlichkeit wahrscheinlich ein Punkt ist, weil ∇ A Ω | ich 0 = 0 .
@Timaeus Ich habe wirklich keine Ahnung ...
@DrakeMarquis: Das ist eine großartige Frage, danke, dass du sie gestellt hast. Aber ich finde deine Antwort nicht richtig. Die Metrik wird in diesem Sinne auch bei null unendlich singulär, aber null unendlich wird in einem Penrose-Diagramm durch eine Fläche und nicht durch einen Punkt dargestellt.
@Timaeus: Aber räumliche Unendlichkeit als Punkt zu haben, ist nur eine Wahl. Ich glaube nicht, dass es nur eine Wahl ist, aus den Gründen, die in Ryan Thorngrens Antwort erklärt werden.
Warum ist die räumliche konforme Unendlichkeit ein Punkt?
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